интеграл xe^5x dx

Чтобы решить интеграл \(\int xe^{5x} \, dx\), можно использовать метод интегрирования по частям. Формула для интегрирования по частям выглядит так:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Где выбираем:

• \(u = x\) (тогда \(du = dx\))
• \(dv = e^{5x} \, dx\) (тогда \(v = \frac{1}{5} e^{5x}\))

Теперь подставим в формулу:

\[ \int xe^{5x} \, dx = uv - \int v \, du \] \[ = x \cdot \frac{1}{5} e^{5x} - \int \frac{1}{5} e^{5x} \, dx \]

Теперь вычислим второй интеграл:

\[ \int e^{5x} \, dx = \frac{1}{5} e^{5x} \]

Подставляем это обратно:

\[ = \frac{1}{5} x e^{5x} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} e^{5x} + C \] \[ = \frac{1}{5} x e^{5x} - \frac{1}{25} e^{5x} + C \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \int xe^{5x} \, dx = \frac{1}{5} x e^{5x} - \frac{1}{25} e^{5x} + C \]

Где \(C\) — произвольная константа интегрирования.