Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Давайте обозначим количество деталей, которые делает второй рабочий за час, как \( x \). Тогда первый рабочий за час делает \( x + 5 \) деталей.
Пусть \( t \) — время, которое требуется второму рабочему для выполнения заказа. Так как второй рабочий делает 180 деталей, мы можем записать уравнение для времени второго рабочего:
\[ t = \frac{180}{x} \]
Первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее, следовательно, его время будет \( t - 3 \). Также для первого рабочего можно записать такое уравнение:
\[ t - 3 = \frac{180}{x + 5} \]
Теперь у нас есть два уравнения:
\( t = \frac{180}{x} \)
\( t - 3 = \frac{180}{x + 5} \)
Подставим первое уравнение во второе:
\[ \frac{180}{x} - 3 = \frac{180}{x + 5} \]
Умножим все части на \( x(x + 5) \), чтобы избавиться от дробей:
\[ 180(x + 5) - 3x(x + 5) = 180x \]
Раскроем скобки:
\[ 180x + 900 - 3x^2 - 15x = 180x \]
Соберем все части уравнения:
\[ 900 - 3x^2 - 15x = 0 \]
Прибавим \( 3x^2 + 15x \) к обеим сторонам:
\[ 3x^2 + 15x - 900 = 0 \]
Теперь упростим и разделим все на 3:
\[ x^2 + 5x - 300 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 \]
Теперь найдем корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 35}{2} \]
Это даёт нам два возможных значения:
- \( x = \frac{30}{2} = 15 \)
- \( x = \frac{-40}{2} = -20 \) (это значение не подходит, так как количество деталей не может быть отрицательным)
Теперь, зная, что \( x = 15 \), мы можем найти количество деталей, которые делает первый рабочий:
\[ x + 5 = 15 + 5 = 20 \]
Таким образом, первый рабочий делает 20 деталей в час.
