уравнение движения точки по прямой имеет вид x=a+bt+ct в кубе, где a=4, b=2, c=0,2, Найдите -положение точки в момент времени t равно 2с и t = 5с -среднюю скорость за время…

Давайте рассмотрим уравнение движения точки по прямой, заданное как \( x = a + bt + ct^3 \), с заданными значениями \( a = 4 \), \( b = 2 \), и \( c = 0,2 \). Мы будем решать ваши вопросы по порядку.

1. Нахождение положения точки в моменты времени \( t = 2 \) с и \( t = 5 \) с.

   Для \( t = 2 \): \[ x(2) = 4 + 2 \cdot 2 + 0,2 \cdot (2)^3 = 4 + 4 + 0,2 \cdot 8 = 4 + 4 + 1,6 = 9,6 \]

   Для \( t = 5 \): \[ x(5) = 4 + 2 \cdot 5 + 0,2 \cdot (5)^3 = 4 + 10 + 0,2 \cdot 125 = 4 + 10 + 25 = 39 \]

   Таким образом, положение точки в моменты времени:

   • При \( t = 2 \) с: \( x(2) = 9,6 \)
   • При \( t = 5 \) с: \( x(5) = 39 \)

2. Нахождение средней скорости за время между моментами \( t = 2 \) с и \( t = 5 \) с.

   Средняя скорость \( V_{ср} \) вычисляется по формуле: \[ V_{ср} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \] Где \( t_1 = 2 \) с и \( t_2 = 5 \) с: \[ V_{ср} = \frac{39 - 9,6}{5 - 2} = \frac{29,4}{3} \approx 9,8 \, \text{м/с} \]

3. Нахождение мгновенных скоростей в указанные моменты времени.

   Для нахождения мгновенной скорости необходимо взять производную \( x(t) \): \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = b + 3ct^2 = 2 + 3 \cdot 0,2 t^2 = 2 + 0,6t^2 \]

   Теперь подставим значения \( t = 2 \) и \( t = 5 \):

   При \( t = 2 \): \[ v(2) = 2 + 0,6 \cdot (2)^2 = 2 + 0,6 \cdot 4 = 2 + 2,4 = 4,4 \, \text{м/с} \]

   При \( t = 5 \): \[ v(5) = 2 + 0,6 \cdot (5)^2 = 2 + 0,6 \cdot 25 = 2 + 15 = 17 \, \text{м/с} \]

4. Нахождение среднего ускорения за указанный промежуток времени.

   Среднее ускорение \( a_{ср} \) можно вычислить как: \[ a_{ср} = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1} \] Подставим значения: \[ a_{ср} = \frac{17 - 4,4}{5 - 2} = \frac{12,6}{3} = 4,2 \, \text{м/с}^2 \]

5. Нахождение мгновенного ускорения в указанные моменты времени.

   Мгновенное ускорение \( a(t) \) будет равно производной от скорости: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 6ct = 6 \cdot 0,2 \cdot t = 1,2t \]

   Теперь подставим значения:

   При \( t = 2 \): \[ a(2) = 1,2 \cdot 2 = 2,4 \, \text{м/с}^2 \]

   При \( t = 5 \): \[ a(5) = 1,2 \cdot 5 = 6 \, \text{м/с}^2 \]

В итоге, выводы по всем пунктам:

• Положение точки в момент \( t = 2 \) с: \( 9,6 \) м и при \( t = 5 \) с: \( 39 \) м.
• Средняя скорость: \( 9,8 \) м/с.
• Мгновенные скорости: \( v(2) = 4,4 \) м/с и \( v(5) = 17 \) м/с.
• Среднее ускорение: \( 4,2 \) м/с².
• Мгновенные ускорения: \( a(2) = 2,4 \) м/с² и \( a(5) = 6 \) м/с².