Номер 355

Привет! Давай вместе решим задачу под номером 355.

Задание: "Вычислите"

1. \(\sqrt{5} - 4\sqrt{5}\)
2. \( (\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7}) \)
3. \( \sqrt{3 + \sqrt{11}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{11}} \)
4. \( \sqrt[3]{\sqrt{32} - 3} \)

Решим их по порядку:

1. \(\sqrt{5} - 4\sqrt{5}\)

• Это выражение можно упростить, как обычное уравнение с числами. Здесь у нас одинаковые "корни" (т.е. \(\sqrt{5}\)).
• \(\sqrt{5}\) - это как \(1\sqrt{5}\), то есть \(1 \times \sqrt{5}\).
• Тогда \(1\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = (1 - 4)\sqrt{5} = -3\sqrt{5}\).

Ответ: \(-3\sqrt{5}\)

2. \( (\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7}) \)

• Это выражение записано в виде разности квадратов.
• Формула разности квадратов: \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\).
• Подставляем \(a = \sqrt{11}\) и \(b = \sqrt{7}\):

\[ (\sqrt{11} - \sqrt{7})(\sqrt{11} + \sqrt{7}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{7})^2 \] \[ (\sqrt{11})^2 = 11 \] \[ (\sqrt{7})^2 = 7 \]

Тогда: \[ 11 - 7 = 4 \]

Ответ: \(4\)

3. \( \sqrt{3 + \sqrt{11}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{11}} \)

• Здесь тоже есть формула, это типа формы произведения разности и суммы.
• \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \)
• Подставляем \(a = 3 + \sqrt{11}\) и \(b = 3 - \sqrt{11}\):

\[ \sqrt{ (3 + \sqrt{11}) (3 - \sqrt{11}) } \]

Опять же, это разность квадратов: \[ (3)^2 - (\sqrt{11})^2 \] \[ 9 - 11 = -2 \]

\[ \sqrt{-2} \] Это мнимое число, обозначается \(i\), тогда: \[ i\sqrt{2} \]

Ответ: \(i\sqrt{2}\)

4. \( \sqrt[3]{\sqrt{32} - 3} \)

• Сначала найдём значение \(\sqrt{32}\): \[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \]

Тогда выражение становится: \[ \sqrt[3]{4\sqrt{2} - 3} \]

Этот корень нельзя упростить сразу — это финальный ответ.

Ответ: \(\sqrt[3]{4\sqrt{2} - 3}\)

Если есть вопросы или нужно еще что-то объяснить, спрашивай!