2х÷х-1-3х+1÷х²-1÷3х+1
Чтобы решить выражение \( \frac{2x}{x - 1} - \frac{3x + 1}{x^2 - 1} - \frac{1}{3x + 1} \), сначала упростим его, правильно работая с дробями.
Найдем общий знаменатель. Знаменатель \( x^2 - 1 \) можно разложить как \( (x - 1)(x + 1) \). Таким образом, общий знаменатель для всех трех дробей будет: \[ (x - 1)(x + 1)(3x + 1) \]
Приведем каждую дробь к общему знаменателю:
Для первой дроби: \[ \frac{2x}{x - 1} \cdot \frac{(x + 1)(3x + 1)}{(x + 1)(3x + 1)} = \frac{2x(x + 1)(3x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(3x + 1)} \]
Для второй дроби: \[ \frac{3x + 1}{x^2 - 1} = \frac{3x + 1}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{3x + 1}{3x + 1} = \frac{(3x + 1)(3x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(3x + 1)} \]
Для третьей дроби: \[ -\frac{1}{3x + 1} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = -\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(3x + 1)} \]
Теперь объединяем все дроби и записываем результат в одном знаменателе:
\[ \frac{2x(x + 1)(3x + 1) - (3x + 1)^2 - (x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(3x + 1)} \]
- Теперь нужно упростить числитель. Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:
\[ 2x(x + 1)(3x + 1) = 2x(3x^2 + 4x + 1) = 6x^3 + 8x^2 + 2x \] \[ -(3x + 1)^2 = - (9x^2 + 6x + 1) = -9x^2 - 6x - 1 \] \[ -(x - 1)(x + 1) = -(x^2 - 1) = -x^2 + 1 \]
Соберем все вместе:
\[ 6x^3 + 8x^2 + 2x - 9x^2 - 6x - 1 - x^2 + 1 \] \[ = 6x^3 + (8x^2 - 9x^2 - x^2) + (2x - 6x) + (1 - 1) \] \[ = 6x^3 - 2x^2 - 4x \]
- Таким образом, итоговое выражение будет:
\[ \frac{6x^3 - 2x^2 - 4x}{(x - 1)(x + 1)(3x + 1)} \]
Если хотите, можно вынести общий множитель в числителе:
\[ = \frac{2x(3x^2 - x - 2)}{(x - 1)(x + 1)(3x + 1)} \]
Это и есть окончательная форма вашего выражения. Если есть ещё вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!
