продиффиринцируй данные функции: y=3/x+5√x^2-4x^3+2/x^4
Чтобы продифференцировать данную функцию \(y = \frac{3}{x} + 5\sqrt{x^2 - 4x^3} + \frac{2}{x^4}\), воспользуемся правилами дифференцирования для каждого из членов по отдельности.
Первое слагаемое \(\frac{3}{x}\): \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x}\right) = \frac{d}{dx}(3x^{-1}) = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2} \]
Второе слагаемое \(5\sqrt{x^2 - 4x^3}\): Сначала применим правило цепочки. Пусть \(u = x^2 - 4x^3\). Тогда \(\sqrt{u} = u^{1/2}\). \[ \frac{d}{dx}(5\sqrt{u}) = 5 \cdot \frac{1}{2}u^{-1/2} \cdot \frac{du}{dx} \] Теперь найдём \(\frac{du}{dx} = 2x - 12x^2 = 2x(1 - 6x)\). Таким образом, \[ \frac{d}{dx}(5\sqrt{x^2 - 4x^3}) = \frac{5}{2\sqrt{x^2 - 4x^3}} \cdot (2x - 12x^2) = \frac{5(2x - 12x^2)}{2\sqrt{x^2 - 4x^3}} \]
Третье слагаемое \(\frac{2}{x^4}\): \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x^4}\right) = \frac{d}{dx}(2x^{-4}) = -8x^{-5} = -\frac{8}{x^5} \]
Теперь объединим все полученные результаты: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{x^2} + \frac{5(2x - 12x^2)}{2\sqrt{x^2 - 4x^3}} - \frac{8}{x^5} \]
Таким образом, производная функции \(y\) равна: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{x^2} + \frac{5(2x - 12x^2)}{2\sqrt{x^2 - 4x^3}} - \frac{8}{x^5} \]
