(x²-2x)²-3x²+6x-4=0
Чтобы решить уравнение \((x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0\), давайте сначала упростим его.
Начнем с замены: обозначим \(y = x^2 - 2x\). Таким образом, уравнение примет вид:
\[ y^2 - 3x^2 + 6x - 4 = 0 \]
Теперь выразим \(x^2\) через \(y\):
\(y = x^2 - 2x\) значит, \(x^2 = y + 2x\).
Подставим \(x^2\) в уравнение:
\[ y^2 - 3(y + 2x) + 6x - 4 = 0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ y^2 - 3y - 6x + 6x - 4 = 0 \implies y^2 - 3y - 4 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение \(y^2 - 3y - 4 = 0\) по формуле:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -4\):
\[ y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \]
Таким образом, мы получаем два значения для \(y\):
\[ y_1 = \frac{8}{2} = 4,\quad y_2 = \frac{-2}{2} = -1. \]
Теперь вспомним, что \(y = x^2 - 2x\). Решим для каждого значения \(y\):
- Для \(y = 4\):
\[ x^2 - 2x - 4 = 0. \]
Решаем по формуле:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}. \]
- Для \(y = -1\):
\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0. \]
Таким образом, получаем \(x = 1\).
В итоге, итоговые решения уравнения:
\[ x_1 = 1 + \sqrt{5}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{5}, \quad x_3 = 1. \]
Эти корни являются решениями нашего уравнения. Если есть дополнительные вопросы по этой теме, обязательно дайте знать!
