Найтиде область определение выражения √14x² - 5X - 1

Чтобы найти область определения выражения \( \sqrt{14x^2 - 5x - 1} \), необходимо установить, при каких значениях \( x \) под корнем выполняется условие неотрицательности, т.е. \( 14x^2 - 5x - 1 \geq 0 \).

1. Решаем неравенство \( 14x^2 - 5x - 1 \geq 0 \).

   Для этого сначала найдем корни уравнения \( 14x^2 - 5x - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта:

   \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81. \]

   Находим корни по формуле:

   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 9}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 9}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}. \]

2. Теперь имеем корни \( x_1 = \frac{1}{2} \) и \( x_2 = -\frac{1}{7} \).

3. Определяем знаки выражения в интервалах, образованных корнями:

   Рассмотрим интервалы:

   • \( (-\infty, -\frac{1}{7}) \)
   • \( \left(-\frac{1}{7}, \frac{1}{2}\right) \)
   • \( \left(\frac{1}{2}, +\infty\right) \)

   Подберем тестовые точки для каждого из интервалов:

   • Для интервала \( (-\infty, -\frac{1}{7}) \) (например, точка \( x = -1 \)): \[ 14(-1)^2 - 5(-1) - 1 = 14 + 5 - 1 = 18 \geq 0. \]
   • Для интервала \( \left(-\frac{1}{7}, \frac{1}{2}\right) \) (например, точка \( x = 0 \)): \[ 14(0)^2 - 5(0) - 1 = -1 < 0. \]
   • Для интервала \( \left(\frac{1}{2}, +\infty\right) \) (например, точка \( x = 1 \)): \[ 14(1)^2 - 5(1) - 1 = 14 - 5 - 1 = 8 \geq 0. \]

4. Итак, неравенство выполняется в следующих интервалах:

   • \( x \in (-\infty, -\frac{1}{7}] \) и \( x \in [\frac{1}{2}, +\infty) \).

Таким образом, область определения выражения \( \sqrt{14x^2 - 5x - 1} \) состоит из двух частей:

\[ x \in (-\infty, -\frac{1}{7}] \cup [\frac{1}{2}, +\infty). \]