|x-1|=|2x+3|

Для решения уравнения \( |x-1| = |2x+3| \) нам нужно рассмотреть два случая, так как абсолютные значения могут принимать разные знаки.

Случай 1: \( x - 1 = 2x + 3 \)

1. Решим это уравнение: \[ x - 1 = 2x + 3 \] Переносим все члены на одну сторону: \[ x - 2x = 3 + 1 \] Это упрощается до: \[ -x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = -4 \]

Случай 2: \( x - 1 = -(2x + 3) \)

1. Решим это уравнение: \[ x - 1 = -2x - 3 \] Переносим все члены на одну сторону: \[ x + 2x = -3 + 1 \] Это упрощается до: \[ 3x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{2}{3} \]

Теперь у нас есть два ответа: \( x = -4 \) и \( x = -\frac{2}{3} \).

Проверим оба решения:

1. Для \( x = -4 \): \[ |x-1| = |-4-1| = | -5 | = 5 \] \[ |2x+3| = |2(-4)+3| = |-8+3| = |-5| = 5 \]

2. Для \( x = -\frac{2}{3} \): \[ |x-1| = |-\frac{2}{3}-1| = |-\frac{2}{3}-\frac{3}{3}| = |-\frac{5}{3}| = \frac{5}{3} \] \[ |2x+3| = |2(-\frac{2}{3})+3| = |-\frac{4}{3}+3| = |-\frac{4}{3}+\frac{9}{3}| = |\frac{5}{3}| = \frac{5}{3} \]

Таким образом, оба решения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: \( x = -4 \) и \( x = -\frac{2}{3} \).