log2(10-x)=3log3

Чтобы решить уравнение \( \log_2(10 - x) = 3 \log_3 \), сначала нужно упростить правую часть уравнения. Мы знаем, что \( \log_3 \) представляет собой логарифм с основанием 3. Чтобы выразить \( 3 \log_3 \) в более удобной форме, воспользуемся свойством логарифмов:

\[ 3 \log_3 = \log_3(3^3) = \log_3(27). \]

Теперь у нас имеется уравнение:

\[ \log_2(10 - x) = \log_3(27). \]

Для того, чтобы упростить это уравнение, можно перевести логарифм с основания 3 в логарифм с основанием 2 с помощью изменения основания:

\[ \log_3(27) = \frac{\log_2(27)}{\log_2(3)}. \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ \log_2(10 - x) = \frac{\log_2(27)}{\log_2(3)}. \]

На данном этапе можно переписать уравнение в экспоненциальной форме. Мы знаем, что если \( \log_b(a) = c \), то \( a = b^c \). В данном случае это выглядит следующим образом:

\[ 10 - x = 2^{\frac{\log_2(27)}{\log_2(3)}}. \]

Теперь осталось решить это уравнение. Вычислим \( 2^{\frac{\log_2(27)}{\log_2(3)}} \):

Сначала найдем \( \log_2(27) \). Поскольку \( 27 = 3^3 \), можно выразить его следующим образом:

\[ \log_2(27) = 3 \log_2(3). \]

Таким образом, уравнение можно упростить:

\[ 10 - x = 2^{3 \cdot \frac{\log_2(3)}{\log_2(3)}}. \]

Теперь справедливо:

\[ 10 - x = 2^3 = 8. \]

Подставим это обратно в уравнение и найдем \( x \):

\[ 10 - x = 8 \implies x = 10 - 8 = 2. \]

Таким образом, решение уравнения:

\[ x = 2. \]