реши биквадратное уравнение, x в четвертой степени минус 5x во второй степени минус 30 равно ноль
Чтобы решить биквадратное уравнение \( x^4 - 5x^2 - 30 = 0 \), начнем с замены переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:
\[ y^2 - 5y - 30 = 0 \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \( y \). Мы можем решить его, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -30 \). Подставим эти значения в формулу:
\[ y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30)}}{2 \cdot 1} \]
Посчитаем подкоренное выражение:
\[ (-5)^2 = 25, \] \[ 4 \cdot 1 \cdot (-30) = -120, \] \[ b^2 - 4ac = 25 + 120 = 145. \]
Теперь подставим это значение в формулу:
\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{145}}{2}. \]
Таким образом, у нас получаются два значения для \( y \):
\[ y_1 = \frac{5 + \sqrt{145}}{2}, \] \[ y_2 = \frac{5 - \sqrt{145}}{2}. \]
Теперь вернемся к переменной \( x \), так как \( y = x^2 \). Из этого получаем два уравнения:
- \( x^2 = y_1 = \frac{5 + \sqrt{145}}{2} \)
- \( x^2 = y_2 = \frac{5 - \sqrt{145}}{2} \)
Теперь решим каждое из них на \( x \):
Для первого уравнения:
\[ x = \pm \sqrt{\frac{5 + \sqrt{145}}{2}}. \]
Для второго уравнения:
\[ x = \pm \sqrt{\frac{5 - \sqrt{145}}{2}}. \]
Однако, стоит заметить, что значение \( \frac{5 - \sqrt{145}}{2} \) может быть отрицательным, и в этом случае корня не будет (поскольку квадратный корень из отрицательного числа не определен в пределах действительных чисел).
Таким образом, решение биквадратного уравнения:
\[ x = \pm \sqrt{\frac{5 + \sqrt{145}}{2}}. \]
Это и будут ваши корни уравнения. Если у вас останутся вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
