Теплоход прошёл 100 км по течению и 64 км против затратив на путь 9 часов. найти скорость теплохода если скорость течения реки 2 км/ч

Для решения этой задачи давайте сначала определим скорость теплохода. Обозначим скорость теплохода как \( v \) км/ч.

Когда теплоход движется по течению, его скорость по отношению к берегу будет составлять \( v + 2 \) км/ч (где 2 км/ч — скорость течения реки). Когда он движется против течения, его скорость будет \( v - 2 \) км/ч.

Теперь давайте обозначим время, которое теплоход потратил на путь по течению и против течения. Из условия известно, что общий путь составил 100 км по течению и 64 км против течения, а общее время в пути — 9 часов.

Используя формулу для времени: \[ t = \frac{S}{V} \]

где \( t \) — время, \( S \) — расстояние, \( V \) — скорость.

1. Время в пути по течению: \[ t_1 = \frac{100}{v + 2} \]

2. Время в пути против течения: \[ t_2 = \frac{64}{v - 2} \]

Согласно условию, сумма этих времен равна 9 часам: \[ t_1 + t_2 = 9 \] Подставляем выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{100}{v + 2} + \frac{64}{v - 2} = 9 \]

Теперь умножим на общий знаменатель \( (v + 2)(v - 2) \): \[ 100(v - 2) + 64(v + 2) = 9(v^2 - 4) \]

Раскроем скобки: \[ 100v - 200 + 64v + 128 = 9v^2 - 36 \]

Соберем все термины в одной части равенства: \[ 164v - 72 = 9v^2 - 36 \]

Переносим все элементы в левую часть: \[ 9v^2 - 164v - 36 + 72 = 0 \] \[ 9v^2 - 164v + 36 = 0 \]

Теперь используем формулу для решения квадратных уравнений: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 9 \), \( b = -164 \), \( c = 36 \).

Подставим значения: \[ v = \frac{164 \pm \sqrt{(-164)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 36}}{2 \cdot 9} \] \[ v = \frac{164 \pm \sqrt{26896 - 1296}}{18} \] \[ v = \frac{164 \pm \sqrt{25600}}{18} \] \[ v = \frac{164 \pm 160}{18} \]

Теперь найдем возможные значения:

1. \( v_1 = \frac{164 + 160}{18} = \frac{324}{18} = 18 \)
2. \( v_2 = \frac{164 - 160}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \)

Поскольку скорость теплохода не может быть отрицательной, принимаем \( v = 18 \) км/ч.

Таким образом, скорость теплохода составляет 18 км/ч.