Решите неравенство х^2+6х:х-2<_0
Для решения неравенства \( \frac{x^2 + 6x}{x - 2} \leq 0 \) нужно выполнить несколько шагов:
Найдем нули числителя: Сначала решим уравнение \( x^2 + 6x = 0 \).
Выносим \( x \) за скобки:
\[ x(x + 6) = 0 \]
Таким образом, \( x = 0 \) или \( x + 6 = 0 \) (отсюда \( x = -6 \)).
Значит, нули числителя: \( x = 0 \) и \( x = -6 \).
Определим точку, в которой дробь не определена: Дробь не будет определена в точке, где \( x - 2 = 0 \) (то есть при \( x = 2 \)).
Построим промежутки: Теперь у нас есть точки \( -6, 0 \) и \( 2 \). Делим числовую ось на промежутки:
- \( (-\infty, -6) \)
- \( (-6, 0) \)
- \( (0, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Проверим знаки на каждом промежутке: Мы будем подставлять пробные значения из каждого промежутка в выражение \( \frac{x^2 + 6x}{x - 2} \).
Для \( x = -7 \) (промежуток \( (-\infty, -6) \)): \[ \frac{(-7)^2 + 6(-7)}{-7 - 2} = \frac{49 - 42}{-9} = \frac{7}{-9} < 0 \]
Для \( x = -1 \) (промежуток \( (-6, 0) \)): \[ \frac{(-1)^2 + 6(-1)}{-1 - 2} = \frac{1 - 6}{-3} = \frac{-5}{-3} > 0 \]
Для \( x = 1 \) (промежуток \( (0, 2) \)): \[ \frac{1^2 + 6(1)}{1 - 2} = \frac{1 + 6}{-1} = \frac{7}{-1} < 0 \]
Для \( x = 3 \) (промежуток \( (2, +\infty) \)): \[ \frac{3^2 + 6(3)}{3 - 2} = \frac{9 + 18}{1} = 27 > 0 \]
Записываем промежутки, где неравенство выполняется: Мы ищем, где \( \frac{x^2 + 6x}{x - 2} \leq 0 \). Это происходит на промежутках:
- \( (-\infty, -6) \)
- \( (0, 2) \)
Проверка включения концов: Мы включаем нули числителя (так как знак неравенства „меньше или равно“), а точка \( x = 2 \) не включается, так как там дробь не определена.
Записываем ответ:
\[ x \in (-\infty, -6] \cup [0, 2) \]
Таким образом, решение неравенства \( \frac{x^2 + 6x}{x - 2} \leq 0 \) — это промежутки \( (-\infty, -6] \cup [0, 2) \).
