4

Привет! Давай разберём задачу вместе.

На доске представлены два задания:

1. Решить уравнение: \[ 2x^2 + 5x + 2 = 0 \] \[ \frac{3x^2 + 7x + 2}{x^2 - 1} = 0 \]

2. Решить неравенства: \[ i) 2x - 3 = 5x^2 \] \[ ii) \frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 4} \leq 0 \]

Теперь давай по очереди разберём каждое из них.

1. Решить уравнения:

a) \( 2x^2 + 5x + 2 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант \(D\).

Дискриминант \(D\) находится по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \]

Здесь: \[ a = 2, \; b = 5, \; c = 2 \]

Посчитаем дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 \] \[ D = 25 - 16 \] \[ D = 9 \]

Найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-5 \pm 3}{4} \]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня: \[ x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5 \] \[ x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]

Ответ: корни уравнения \( -2 \) и \( -0,5 \).

b) \( \frac{3x^2 + 7x + 2}{x^2 - 1} = 0 \)

Для равенства дроби нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.

Решим числитель: \[ 3x^2 + 7x + 2 = 0 \]

Посчитаем дискриминант: \[ D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 \] \[ D = 49 - 24 \] \[ D = 25 \]

Корни: \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-7 \pm 5}{6} \]

Два корня: \[ x_1 = \frac{-7 + 5}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-7 - 5}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]

Знаменатель не должен быть равен нулю: \[ x^2 - 1 \neq 0 \] \[ x \neq \pm 1 \]

Таким образом, корни уравнения \( -2 \) и \( -\frac{1}{3} \).

Ответ: \( x = -2 \) и \( x = -\frac{1}{3} \).

2. Решить неравенства:

a) \( 2x - 3 = 5x^2 \)

Перепишем как: \[ 5x^2 - 2x + 3 = 0 \]

Посчитаем дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 \] \[ D = 4 - 60 \] \[ D = -56 \]

Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

Ответ: решений нет.

b) \( \frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 4} \leq 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя.

Числитель: \[ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \]

Дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 \] \[ D = 25 - 16 \] \[ D = 9 \]

Корни: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{5 \pm 3}{4} \]

Два корня: \[ x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \] \[ x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

Знаменатель: \[ x^2 - 4 = 0 \] \[ x = \pm 2 \]

Теперь расположим корни на числовой прямой и рассмотрим промежутки, где неравенство выполняется.

Отметим, что на промежутках проверяем знаки выражения:

• \( (-\infty, -2) \)
• \( (-2, 0,5) \)
• \( (0,5, 2) \)
• \( (2, \infty) \)

Проанализируем их на знаки.

Ответ: \( x \in \left(-2, \frac{1}{2}\right] \cup \left[2, \infty \right)\).

Если есть ещё вопросы, пиши, помогу!