Пользуясь понятием дифференциала ,вычислить приближено √7x+2 в точке x⁰=1,34
Чтобы приближенно вычислить значение функции \( \sqrt{7x + 2} \) в точке \( x_0 = 1,34 \), мы воспользуемся понятием дифференциала.
Находим функцию и её производную.
Пусть \( f(x) = \sqrt{7x + 2} \).
Чтобы найти производную, используем правило дифференцирования для корня:
\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{7x + 2}} \cdot 7 = \frac{7}{2\sqrt{7x + 2}}. \]
Вычислим значение производной в точке \( x_0 \):
\[ f'(1.34) = \frac{7}{2\sqrt{7 \cdot 1.34 + 2}}. \]
Сначала находим \( 7 \cdot 1.34 + 2 \):
\[ 7 \cdot 1.34 = 9.38, \quad 9.38 + 2 = 11.38, \] следовательно, \[ \sqrt{11.38} \approx 3.37. \]
Теперь можем найти производную:
\[ f'(1.34) \approx \frac{7}{2 \cdot 3.37} \approx \frac{7}{6.74} \approx 1.04. \]
Теперь вычислим значение функции в точке \( x_0 \):
\[ f(1.34) = \sqrt{11.38} \approx 3.37. \]
Используем дифференциал для нахождения приближенного значения:
Вычислим \( \Delta x \), где \( \Delta x = x - x_0 \). Если мы возьмем \( x = 1.35 \), то \( \Delta x = 1.35 - 1.34 = 0.01 \).
Теперь можем использовать формулу:
\[ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x. \]
Подставляем значения:
\[ f(1.35) \approx 3.37 + 1.04 \cdot 0.01 \approx 3.37 + 0.0104 \approx 3.38. \]
Таким образом, приближенное значение \( \sqrt{7 \cdot 1.35 + 2} \) будет примерно равно 3.38.
