В треугольнике АВС сторона АС=7√3 сторона ВС=1, угол С=150° найдите длину стороны АВ.
Чтобы найти длину стороны \( AB \) в треугольнике \( ABC \), где \( AC = 7\sqrt{3} \), \( BC = 1 \) и угол \( C = 150^\circ \), можно воспользоваться косинусной теоремой.
Косинусная теорема утверждает, что в любом треугольнике:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C), \]
где \( c \) — длина стороны напротив угла \( C \), \( a \) и \( b \) — длины других двух сторон, а \( C \) — угол между этими сторонами.
В нашем случае:
- \( a = AC = 7\sqrt{3} \)
- \( b = BC = 1 \)
- \( C = 150^\circ \)
- \( c = AB \)
Сначала находим \( \cos(150^\circ) \). Зная, что \( \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \):
Теперь подставим данные в формулу:
\[ AB^2 = (7\sqrt{3})^2 + (1)^2 - 2 \cdot (7\sqrt{3}) \cdot (1) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right). \]
Рассчитаем каждую часть:
- \( (7\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147 \)
- \( (1)^2 = 1 \)
- \( -2 \cdot (7\sqrt{3}) \cdot (1) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 7 \cdot 3 = 21 \)
Теперь все подставим в уравнение:
\[ AB^2 = 147 + 1 + 21 = 169. \]
Тогда длина стороны \( AB \):
\[ AB = \sqrt{169} = 13. \]
Таким образом, длина стороны \( AB \) равна \( 13 \).
