Х^4-2х^2-3=0
Давайте решим уравнение \( x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \).
Замена переменной. Для удобства можно сделать замену: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение трансформируется в \( y^2 - 2y - 3 = 0 \).
Решение квадратного уравнения. Теперь решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \).
Подставляя значения, мы имеем:
\[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ y = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Это дает два значения для \( y \): \[ y_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Обратная замена. Теперь возвращаемся к переменной \( x \):
- Если \( y_1 = 3 \), то \( x^2 = 3 \), что дает \( x = \sqrt{3} \) или \( x = -\sqrt{3} \).
- Если \( y_2 = -1 \), то \( x^2 = -1 \). Это уравнение не имеет действительных решений, но имеет комплексные решения: \( x = i \) или \( x = -i \).
Итоговые решения. Таким образом, наши окончательные решения уравнения \( x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \):
- Действительные решения: \( x = \sqrt{3} \) и \( x = -\sqrt{3} \).
- Комплексные решения: \( x = i \) и \( x = -i \).
Если будут вопросы по другим темам или ещё уточнения по этой задаче, не стесняйтесь спрашивать!
