³√100 × ⁶√6400

Чтобы решить выражение \( \sqrt[3]{100} \times \sqrt[6]{6400} \), начнем с вычисления каждого корня отдельно.

1. Вычисление кубического корня: \[ \sqrt[3]{100} = 100^{1/3} \] Для удобства можно представить 100 в виде \( 10^2 \): \[ 100^{1/3} = (10^2)^{1/3} = 10^{2/3} \]

2. Вычисление шестого корня: \[ \sqrt[6]{6400} = 6400^{1/6} \] Сначала найдем разложение 6400 на множители. Заметим, что: \[ 6400 = 64 \times 100 = 2^6 \times 10^2 \] Следовательно: \[ 6400 = 2^6 \times (10^2) = 2^6 \times (10^2) = 2^6 \times (2 \times 5)^2 = 2^6 \times 2^2 \times 5^2 = 2^{8} \times 5^{2} \] Теперь можем вычислить шестой корень: \[ 6400^{1/6} = (2^{8} \times 5^{2})^{1/6} = 2^{8/6} \times 5^{2/6} = 2^{4/3} \times 5^{1/3} \]

3. Теперь мы можем объединить все результаты: \[ \sqrt[3]{100} \times \sqrt[6]{6400} = 10^{2/3} \times (2^{4/3} \times 5^{1/3}) = 2^{4/3} \times 5^{1/3} \times 10^{2/3} \] Если выразим 10 через его множители: \[ 10 = 2 \times 5 \Rightarrow 10^{2/3} = (2 \times 5)^{2/3} = 2^{2/3} \times 5^{2/3} \] Теперь мы можем переписать полное выражение: \[ 2^{4/3} \times 5^{1/3} \times (2^{2/3} \times 5^{2/3}) = 2^{4/3 + 2/3} \times 5^{1/3 + 2/3} = 2^{6/3} \times 5^{3/3} = 2^2 \times 5^1 = 4 \times 5 = 20 \]

Итак, окончательный ответ: \[ \sqrt[3]{100} \times \sqrt[6]{6400} = 20 \]