Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. найдите гипотенузу

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета составляет 42 см. Давайте обозначим гипотенузу через \( c \), меньший катет через \( a \), и больший катет через \( b \).

Поскольку у нас угол в 60°, мы знаем, что:

• \( a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) (меньший катет)
• \( b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \) (больший катет)

Согласно условию задачи:

\[ c + a = 42 \]

Теперь подставим значение \( a \) из первого уравнения:

\[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 42 \]

Теперь выделим \( c \):

\[ c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 42 \]

Упростим выражение в скобках:

\[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\[ c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 42 \]

Чтобы найти \( c \), умножим обе стороны на 2:

\[ c (2 + \sqrt{3}) = 84 \]

Теперь разделим обе стороны на \( 2 + \sqrt{3} \):

\[ c = \frac{84}{2 + \sqrt{3}} \]

Для более удобного вычисления, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 2 - \sqrt{3} \):

\[ c = \frac{84(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{84(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 84(2 - \sqrt{3}) \]

Теперь можем подставить значение, чтобы найти приблизительное значение \( c \):

\[ c \approx 84(2 - 1.732) \approx 84(0.268) \approx 22.497 \]

Следовательно, гипотенуза \( c \) равна приблизительно 22.5 см. Чтобы найти значение меньшего катета \( a \):

\[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 22.5 \cdot 0.866 \approx 19.5 см \]

Подобные вычисления подтверждают, что сумма гипотенузы и меньшего катета составляет 42 см, так как:

\[ 22.5 + 19.5 = 42 \]

Таким образом, гипотенуза равна приблизительно 22.5 см.