(x-1)²*(x²+4x-12)<0
Чтобы решить неравенство \((x-1)²*(x²+4x-12)<0\), начнём с анализа каждого из множителей.
Первый множитель: \((x-1)²\) всегда неотрицателен, поскольку это квадрат числа. Он равен нулю, когда \(x = 1\).
Второй множитель: \(x² + 4x - 12\). Найдём его корни, используя формулу для квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a}, \] где \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -12\).
Подставляя значения: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4² - 4*1*(-12)}}{2*1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}. \] Таким образом, корни будут: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-12}{2} = -6. \]
Теперь мы можем выразить вторую часть неравенства:
\(x² + 4x - 12 < 0\) будет верным между корнями \(x = -6\) и \(x = 2\).
- Объединим все это. Важно, что \((x-1)² \geq 0\), и оно станет равным нулю при \(x = 1\). Таким образом, учитывая то, что мы ищем, когда вся функция меньше нуля, у нас есть следующее:
- При \(x < -6\): оба множителя положительны, следовательно, произведение больше нуля.
- Между \(-6\) и \(1\) (\(-6 < x < 1\)): первый множитель положителен, а второй отрицателен. Продукт меньше нуля.
- При \(x = 1\): первый множитель равен нулю; следовательно, всё выражение равно нулю.
- Между \(1\) и \(2\) (\(1 < x < 2\)): оба множителя положительны, следовательно, выражение больше нуля.
- При \(x = 2\): второй множитель равен нулю; следовательно, всё выражение равно нулю.
- При \(x > 2\): оба множителя положительны, следовательно, выражение больше нуля.
В итоге, единственный интервал, где неравенство \((x-1)²*(x²+4x-12)<0\) выполняется, это \((-6, 1)\).
Ответ: \(x \in (-6, 1)\).
