Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. x^2+2y=0, 5x+2y-6=0, a=2, b=3

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо сначала определить точки пересечения этих линий, а затем использовать эти точки для нахождения площади.

1. Запишем уравнения линий:

   • Первое уравнение: \( x^2 + 2y = 0 \) можно выразить как \( y = -\frac{x^2}{2} \).
   • Второе уравнение: \( 5x + 2y - 6 = 0 \) можно выразить как \( y = 3 - \frac{5}{2}x \).

2. Найдем точки пересечения: Подставим \( y \) из второго уравнения в первое: \[ x^2 + 2(3 - \frac{5}{2}x) = 0 \] Упростим это: \[ x^2 + 6 - 5x = 0 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \] Факторизуем: \[ (x - 2)(x - 3) = 0 \] Таким образом, \( x = 2 \) и \( x = 3 \).

3. Найдем соответствующие значения \( y \): Для \( x = 2 \): \[ y = 3 - \frac{5}{2} \cdot 2 = 3 - 5 = -2 \] Для \( x = 3 \): \[ y = 3 - \frac{5}{2} \cdot 3 = 3 - 7.5 = -4.5 \] Таким образом, точки пересечения: \( (2, -2) \) и \( (3, -4.5) \).

4. Определим площадь фигуры: Для нахождения площади мы можем использовать интеграл по области между этими двумя линиями от \( x = 2 \) до \( x = 3 \): \[ S = \int_{2}^{3} \left( (3 - \frac{5}{2}x) - (-\frac{x^2}{2}) \right) dx \] Упростим выражение под интегралом: \[ S = \int_{2}^{3} \left( 3 - \frac{5}{2}x + \frac{x^2}{2} \right) dx \] Теперь вычислим интеграл: \[ S = \left[ 3x - \frac{5}{4}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \right]_{2}^{3} \] Подставим пределы:

   • Для \( x = 3 \): \[ 3(3) - \frac{5}{4}(3^2) + \frac{1}{6}(3^3) = 9 - \frac{45}{4} + \frac{27}{6} \] Переведем в общий знаменатель: \[ = 9 - 11.25 + 4.5 = 9 - 11.25 + 4.5 = 2.25 \]

   • Для \( x = 2 \): \[ 3(2) - \frac{5}{4}(2^2) + \frac{1}{6}(2^3) = 6 - 5 + \frac{8}{6} = 6 - 5 + \frac{4}{3} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} \]

   Найдем разность: \[ S = 2.25 - \frac{7}{3} \approx \frac{9}{4} - \frac{7}{3} = \frac{27 - 28}{12} = \frac{-1}{12} \] Это означает, что мы учли площадь неправильно. Однако, при пересчете, площадь будет равна положительному значению.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна \(\frac{1}{12} \) квадратных единиц.