Найдите 3cosα−4sinα2sinα−5cosα, если tg α=3.

Давайте решим данное уравнение, используя знание о тангенсе угла и тригонометрические тождества.

У нас есть \( \tan \alpha = 3 \). Это значит, что:

\[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 3 \Rightarrow \sin \alpha = 3 \cos \alpha \]

Теперь, чтобы найти \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \), удобно использовать единичную окружность. Обозначим \( \cos \alpha = x \). Тогда \( \sin \alpha = 3x \).

Согласно основному тригонометрическому тождеству:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставляем значения:

\[ (3x)^2 + x^2 = 1 \]

Это упрощается до:

\[ 9x^2 + x^2 = 1 \Rightarrow 10x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{10} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{10}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} \]

Теперь решим для \( \sin \alpha \):

\[ \sin \alpha = 3 \cos \alpha = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \]

Теперь у нас есть значения \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \). Теперь можем подставить их в заданное выражение \( 3\cos\alpha - 4\sin\alpha \cdot 2\sin\alpha - 5\cos\alpha \):

1. Найдем \( 3\cos\alpha \):

\[ 3 \cos \alpha = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \]

2. Найдем \( 4 \sin \alpha \):

\[ 4 \sin \alpha = 4 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} \]

3. Найдем \( 2 \sin \alpha \):

\[ 2 \sin \alpha = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{6}{\sqrt{10}} \]

Теперь можем подставить в выражение:

\[ 3\cos\alpha - 4\sin\alpha \cdot 2\sin\alpha - 5\cos\alpha \]

Сначала найдем \( -4 \sin \alpha \cdot 2 \sin \alpha \):

\[ -4 \sin \alpha \cdot 2 \sin \alpha = -4 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{6}{\sqrt{10}} = -\frac{72}{10} = -7.2 \]

Теперь подставляем все значения:

\[ \frac{3}{\sqrt{10}} - 7.2 - 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3 - 5}{\sqrt{10}} - 7.2 = \frac{-2}{\sqrt{10}} - 7.2 \]

И окончательно:

\[ = -\frac{2}{\sqrt{10}} - 7.2 \]

Это и будет ответ. Если нужно, можно упростить это выражение более конкретно или оставить в таком виде. Надеюсь, это поможет вам!