Устраните разрыв y=(x³-3x²-x+3):3-x

Чтобы устранить разрыв функции \( y = \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{3 - x} \), сначала нужно определить, при каких значениях \( x \) возникает разрыв.

Разрыв может возникнуть, если знаменатель равен нулю. В данном случае, знаменатель равен нулю, когда \( 3 - x = 0 \), что дает \( x = 3 \).

Далее, нужно проверить, можно ли сократить дробь. Для этого упростим числитель \( x^3 - 3x^2 - x + 3 \). Мы можем попробовать использовать деление многочлена.

Проведем деление \( x^3 - 3x^2 - x + 3 \) на \( 3 - x \), или можно написать его как \( -(x - 3) \):

1. Разделите \( x^3 \) на \( -x \), что дает \( -x^2 \).
2. Умножьте и вычтите: \( x^3 - 3x^2 - x + 3 - (-x^2)(3 - x) = x^3 - 3x^2 - x + 3 + (3x^2 - x^3) = 0x^2 - x + 3 \).
3. Далее делите \( -x + 3 \) на \( -(x - 3) \) — результатом будет \( -1 \).
4. Умножив и вычитая, получаем: \( -x + 3 - (-1)(3 - x) = -x + 3 + 3 - x = 0 \).

Таким образом, мы получили полное деление:

\[ y = -(x^2 + 1) \]

поэтому \( y \) можно записать в виде:

\[ y = -(x^2 + 1) \quad (x \neq 3) \]

Чтобы устранить разрыв в точке \( x = 3 \), нужно определить значение функции в этой точке. Подставив \( x = 3 \) в упростившуюся формулу \( y = -(x^2 + 1) \), получаем:

\[ y(3) = -(3^2 + 1) = -(9 + 1) = -10. \]

Таким образом, функцию можно расширить, определив её значение в точке разрыва:

\[ y(3) = -10. \]

Теперь функция будет определена и непрерывна на всей оси \( x \), включая точку \( x = 3 \).