Начертите два неколлинеарных вектора а и б и постройте век- тор с = а - Б . Измерьте длины этих векторов. Исследуйте, как из- меняется длина вектора с, если длины векторов а и б увеличить: а) в два раза; б в пять раз.

Question 1

Задача Задача №1593533

А

Аноним

23 сентября 2024 13:59 · публичный вопрос

А

Аноним 23 сентября 2024 13:59

Начертите два неколлинеарных вектора а и б и постройте век- тор с = а - Б . Измерьте длины этих векторов. Исследуйте, как из- меняется длина вектора с, если длины векторов а и б увеличить: а) в два раза; б в пять раз.

Answer

Для выполнения задания сначала представим два неколлинеарных вектора \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).

Шаг 1: Начертить векторы

Предположим, мы начертим вектор \( \mathbf{a} \) в координатной системе следующим образом:

\( \mathbf{a} = (2, 3) \)

Теперь начертим вектор \( \mathbf{b} \), который будет неколлинеарным к вектору \( \mathbf{a} \):

\( \mathbf{b} = (1, 4) \)

Шаг 2: Построение вектора \( \mathbf{c} \)

Вектор \( \mathbf{c} \) определяется как \( \mathbf{c} = \mathbf{a} - \mathbf{b} \). Мы можем вычислить его компоненты: \[ \mathbf{c} = (2, 3) - (1, 4) = (2 - 1, 3 - 4) = (1, -1) \]

Шаг 3: Измерение длин векторов

Теперь можно вычислить длины векторов \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \) с помощью формулы длины вектора \( \mathbf{v} = (x, y) \): \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Для вектора \( \mathbf{a} \): \[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.61 \]
Для вектора \( \mathbf{b} \): \[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4.12 \]
Для вектора \( \mathbf{c} \): \[ \|\mathbf{c}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.41 \]

Шаг 4: Изменение длин векторов

Теперь рассмотрим изменения, когда длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) увеличиваются.

а) Увеличение в два раза

Если обе длины увеличиваются в два раза:

Новый вектор \( \mathbf{a'} = (4, 6) \)
Новый вектор \( \mathbf{b'} = (2, 8) \)

Теперь определим новый вектор \( \mathbf{c'} \): \[ \mathbf{c'} = \mathbf{a'} - \mathbf{b'} = (4, 6) - (2, 8) = (2, -2) \]

Длина вектора \( \mathbf{c'} \): \[ \|\mathbf{c'}\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83 \]

б) Увеличение в пять раз

Теперь увеличим длины векторов в пять раз:

Новый вектор \( \mathbf{a''} = (10, 15) \)
Новый вектор \( \mathbf{b''} = (5, 20) \)

Новый вектор \( \mathbf{c''} \): \[ \mathbf{c''} = \mathbf{a''} - \mathbf{b''} = (10, 15) - (5, 20) = (5, -5) \]

Длина вектора \( \mathbf{c''} \): \[ \|\mathbf{c''}\| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \approx 7.07 \]

Итоги

Таким образом, при увеличении длин векторов:

Увеличение в два раза: \( \|\mathbf{c'}\| \approx 2.83 \)
Увеличение в пять раз: \( \|\mathbf{c''}\| \approx 7.07 \)

Линия вектора \( c \) меняется вместе с длинами \( a \) и \( b \). В общем случае, если длины двух векторов увеличиваются в \( k \) раз, то длина результирующего вектора \( c \) меняется, но не просто пропорционально, так как она зависит от их направлений (угол между векторами).

Question 2

Начертите два неколлинеарных вектора а и б и постройте век- тор с = а - Б . Измерьте длины этих векторов. Исследуйте, как из- меняется длина вектора с, если длины векторов а и б увеличить: а) в два раза; б в пять раз.

Answer

Для выполнения задания сначала представим два неколлинеарных вектора \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \). ### Шаг 1: Начертить векторы Предположим, мы начертим вектор \( \mathbf{a} \) в координатной системе следующим образом: - \( \mathbf{a} = (2, 3) \) Теперь начертим вектор \( \mathbf{b} \), который будет неколлинеарным к вектору \( \mathbf{a} \): - \( \mathbf{b} = (1, 4) \) ### Шаг 2: Построение вектора \( \mathbf{c} \) Вектор \( \mathbf{c} \) определяется как \( \mathbf{c} = \mathbf{a} - \mathbf{b} \). Мы можем вычислить его компоненты: \[ \mathbf{c} = (2, 3) - (1, 4) = (2 - 1, 3 - 4) = (1, -1) \] ### Шаг 3: Измерение длин векторов Теперь можно вычислить длины векторов \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \) с помощью формулы длины вектора \( \mathbf{v} = (x, y) \): \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \] 1. Для вектора \( \mathbf{a} \): \[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.61 \] 2. Для вектора \( \mathbf{b} \): \[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4.12 \] 3. Для вектора \( \mathbf{c} \): \[ \|\mathbf{c}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.41 \] ### Шаг 4: Изменение длин векторов Теперь рассмотрим изменения, когда длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) увеличиваются. #### а) Увеличение в два раза Если обе длины увеличиваются в два раза: - Новый вектор \( \mathbf{a'} = (4, 6) \) - Новый вектор \( \mathbf{b'} = (2, 8) \) Теперь определим новый вектор \( \mathbf{c'} \): \[ \mathbf{c'} = \mathbf{a'} - \mathbf{b'} = (4, 6) - (2, 8) = (2, -2) \] Длина вектора \( \mathbf{c'} \): \[ \|\mathbf{c'}\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83 \] #### б) Увеличение в пять раз Теперь увеличим длины векторов в пять раз: - Новый вектор \( \mathbf{a''} = (10, 15) \) - Новый вектор \( \mathbf{b''} = (5, 20) \) Новый вектор \( \mathbf{c''} \): \[ \mathbf{c''} = \mathbf{a''} - \mathbf{b''} = (10, 15) - (5, 20) = (5, -5) \] Длина вектора \( \mathbf{c''} \): \[ \|\mathbf{c''}\| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \approx 7.07 \] ### Итоги Таким образом, при увеличении длин векторов: - Увеличение в два раза: \( \|\mathbf{c'}\| \approx 2.83 \) - Увеличение в пять раз: \( \|\mathbf{c''}\| \approx 7.07 \) Линия вектора \( c \) меняется вместе с длинами \( a \) и \( b \). В общем случае, если длины двух векторов увеличиваются в \( k \) раз, то длина результирующего вектора \( c \) меняется, но не просто пропорционально, так как она зависит от их направлений (угол между векторами).