Дан равносторонний треугольник ABC со стороной AB=2. Найдите скалярное произведение векторов BC и AC.
Для того чтобы найти скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \) в равностороннем треугольнике \( ABC \) со стороной \( AB = 2 \), начнем с определения координат вершин треугольника.
Мы можем расположить треугольник так:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(2, 0) \)
Теперь вычислим координаты точки \( C \). В равностороннем треугольнике высота делит основание пополам и образует прямоугольный треугольник. Поскольку основание \( AB = 2 \), длина отрезка \( AM = 1 \) (где \( M \) - середина отрезка \( AB \)). По теореме Пифагора высота \( h \) будет равна:
\[ h = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \]
Таким образом, координаты точки \( C \) будут \( C(1, \sqrt{3}) \).
Теперь найдем векторы \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \):
- Вектор \( \vec{BC} = C - B = (1, \sqrt{3}) - (2, 0) = (-1, \sqrt{3}) \)
- Вектор \( \vec{AC} = C - A = (1, \sqrt{3}) - (0, 0) = (1, \sqrt{3}) \)
Теперь вычислим скалярное произведение \( \vec{BC} \cdot \vec{AC} \):
\[ \vec{BC} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = -1 + 3 = 2 \]
Таким образом, скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \) равно \( 2 \).
