Дан равносторонний треугольник ABC со стороной AB=4. Найдите скалярное произведение векторов BC и CA.

Чтобы найти скалярное произведение векторов BC и CA в равностороннем треугольнике ABC со стороной AB=4, сначала нужно понять расположение вершин треугольника.

1. Определим координаты точек:

   • Пусть точка A находится в начале координат: \( A(0, 0) \).
   • Точка B будет на оси x: \( B(4, 0) \).
   • Для нахождения координат точки C, используем свойства равностороннего треугольника. Угол между векторами AB и AC равен 60 градусам. Расположим точку C так, чтобы она находилась в верхней части. Тогда координаты C можно найти следующим образом: \[ C\left(2, 2\sqrt{3}\right) \] Здесь 2 - это половина стороны, а \( 2\sqrt{3} \) - высота треугольника.

2. Вычислим векторы BC и CA:

   • Вектор \( \vec{BC} = C - B = (2 - 4, 2\sqrt{3} - 0) = (-2, 2\sqrt{3}) \).
   • Вектор \( \vec{CA} = A - C = (0 - 2, 0 - 2\sqrt{3}) = (-2, -2\sqrt{3}) \).

3. Скалярное произведение векторов: Скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{CA} \) определяется по формуле: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y, \] где \( \vec{u} = \vec{BC} = (-2, 2\sqrt{3}) \) и \( \vec{v} = \vec{CA} = (-2, -2\sqrt{3}) \).

   Подставим значения: \[ \vec{BC} \cdot \vec{CA} = (-2) \cdot (-2) + (2\sqrt{3}) \cdot (-2\sqrt{3}) = 4 - 12 = -8. \]

Таким образом, скалярное произведение векторов BC и CA равно \(-8\).