(4x ^ 2 + x - 5)/(16x ^ 2 - 25)

Чтобы упростить дробь \((4x^2 + x - 5)/(16x^2 - 25)\), начнем с разложения на множители как числителя, так и знаменателя.

1. Числитель: \(4x^2 + x - 5\)

Чтобы разложить на множители, найдем два числа, которые в сумме дают коэффициент при \(x\) (то есть 1), а в произведении - произведение \(4 \cdot (-5) = -20\).

Эти числа - 5 и 4. Поэтому мы можем представить \(4x^2 + x - 5\) как:

\[ 4x^2 + 5x - 4x - 5 = (4x^2 - 4x) + (5x - 5) \]

Тогда:

\[ = 4x(x - 1) + 5(x - 1) \]

Теперь мы можем вынести общий множитель:

\[ = (4x + 5)(x - 1) \]

2. Знаменатель: \(16x^2 - 25\)

Это разность квадратов и может быть разложено следующим образом:

\[ = (4x)^2 - 5^2 = (4x - 5)(4x + 5) \]

Теперь заменим числитель и знаменатель в дроби:

\[ \frac{(4x + 5)(x - 1)}{(4x - 5)(4x + 5)} \]

Теперь мы можем сократить \(4x + 5\) в числителе и знаменателе (при условии, что \(4x + 5 \neq 0\)):

\[ \frac{x - 1}{4x - 5} \]

Таким образом, конечный ответ:

\[ \frac{x - 1}{4x - 5} \]

Это упрощенное выражение. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, пожалуйста, дайте знать!