Дан равносторонний треугольник ABC со стороной AB=2. Найдите скалярное произведение векторов BC и CA.

Для решения задачи начнем с определения координат точек треугольника ABC, зная, что он равносторонний и сторона AB равна 2.

Пусть A(0, 0) и B(2, 0) — координаты точек A и B. Для нахождения координаты точки C воспользуемся тем фактом, что угол при каждой вершине равностороннего треугольника равен 60 градусов.

Для нахождения координат точки C можно использовать треугольник и некоторую симметрию.

1. Найдем высоту треугольника: высота равностороннего треугольника может быть найдена по формуле \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\), где \(a\) — длина стороны. В нашем случае: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}. \]
2. Таким образом, точка C будет на координате (1, \( \sqrt{3} \)), так как она будет стоять по центру основания AB, находясь на высоте h: \[ C(1, \sqrt{3}). \]

Теперь найдем векторы BC и CA:

• Вектор \( \vec{BC} = C - B = (1 - 2, \sqrt{3} - 0) = (-1, \sqrt{3}) \).
• Вектор \( \vec{CA} = A - C = (0 - 1, 0 - \sqrt{3}) = (-1, -\sqrt{3}) \).

Теперь можно найти скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{CA} \): \[ \vec{BC} \cdot \vec{CA} = (-1) \cdot (-1) + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = 1 - 3 = -2. \]

Таким образом, скалярное произведение векторов BC и CA равно -2.