найти наибольшее и наименьшее значения функции f на указанном отрезке: f(x)= √(9+8x-x²) [0;7]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = \sqrt{9 + 8x - x^2} \) на отрезке \( [0; 7] \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Определение области определения функции: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть: \[ 9 + 8x - x^2 \geq 0 \] Это неравенство можно записать в стандартной форме как: \[ -x^2 + 8x + 9 \geq 0 \] Перепишем его: \[ x^2 - 8x - 9 \leq 0 \]

   Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 8x - 9 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2} \] Таким образом, получаем корни \( x_1 = 9 \) и \( x_2 = -1 \).

   Неравенство \( x^2 - 8x - 9 \leq 0 \) выполняется в интервале \( [-1, 9] \). Поскольку мы рассматриваем отрезок \( [0; 7] \), он полностью лежит в этом интервале.

2. Нахождение критических точек функции: Для этого найдем производную \( f(x) \): \[ f(x) = (9 + 8x - x^2)^{1/2} \] Используем правило дифференцирования: \[ f'(x) = \frac{1}{2}(9 + 8x - x^2)^{-1/2}(8 - 2x) \]

   Найдем, при каких значениях \( x \) производная равна нулю: \[ 8 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \]

3. Оценка значений функции в критических точках и на границах отрезка:

   • В точках \( x = 0 \), \( x = 4 \), и \( x = 7 \):
     • \( f(0) = \sqrt{9 + 0} = 3 \)
     • \( f(4) = \sqrt{9 + 32 - 16} = \sqrt{25} = 5 \)
     • \( f(7) = \sqrt{9 + 56 - 49} = \sqrt{16} = 4 \)

4. Сравнение значений:

   • \( f(0) = 3 \)
   • \( f(4) = 5 \)
   • \( f(7) = 4 \)

На основании этих вычислений наибольшее значение функции \( f(x) \) на отрезке \( [0; 7] \) равно 5 (при \( x = 4 \)), а наименьшее значение равно 3 (при \( x = 0 \)).

Таким образом, наибольшее значение функции на указанном отрезке – 5, наименьшее значение – 3.