Решить пример: 20cos(3π/2+α)= если cos α=12/13 α принадлежит (3π/2;2π)

Чтобы решить уравнение \(20 \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = 0\), нам сначала необходимо использовать формулу косинуса суммы:

\[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos(\alpha) - \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin(\alpha) \]

Зная, что \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0\) и \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\), мы получаем:

\[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = 0 \cdot \cos(\alpha) - (-1) \sin(\alpha) = \sin(\alpha) \]

Таким образом, уравнение становится:

\[ 20 \sin(\alpha) = 0 \]

Это приводит нас к:

\[ \sin(\alpha) = 0 \]

Теперь обратим внимание на диапазон \( \alpha \), который принадлежит \( (3\pi/2; 2\pi) \). В этом интервале синус равен нулю в точке \( 2\pi \), но \( 2\pi\) не входит в данный промежуток. Следовательно, \( \alpha\) не может принимать значение, при котором синус равен нулю в заданном интервале.

Тем не менее, нам необходимо учесть значение \( \cos\alpha = \frac{12}{13} \). Теперь мы можем найти \(\sin\alpha\), используя основное тригонометрическое соотношение:

\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]

Подставляя значение косинуса:

\[ \sin^2(\alpha) + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2(\alpha) + \frac{144}{169} = 1 \] \[ \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \] \[ \sin(\alpha) = \pm \frac{5}{13} \]

Так как \(\alpha\) принадлежит интервалу \( (3\pi/2; 2\pi) \), где синус принимает отрицательные значения, мы выбираем:

\[ \sin(\alpha) = -\frac{5}{13} \]

Таким образом, окончательное решение уравнения:

\[ 20 \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = 0 \]

Принимает значение, когда \(\alpha\) в заданном интервале, и \( \cos\alpha = \frac{12}{13} \), \( \sin\alpha = -\frac{5}{13}\).