1. Пусть А, В, С, D - произвольные точки пространства, а М, N, P, Q - соответственно середины отрезков AB, BC, CD, DA. Доказать, что направленные отрезки mN и QP эквиполлентны.

Давайте разберемся с задачей, в которой необходимо доказать, что направленные отрезки \( mN \) и \( QP \) эквиполлентны для произвольных точек \( A, B, C, D \) в пространстве, и где \( M, N, P, Q \) - это середины отрезков \( AB, BC, CD, DA \) соответственно.

Для начала напомним, что два вектора эквиполлентны, если они параллельны и имеют равное отношение к длине. Перейдем к доказательству, используя координатный метод.

Обозначим координаты точек следующим образом:

• \( A(x_1, y_1, z_1) \)
• \( B(x_2, y_2, z_2) \)
• \( C(x_3, y_3, z_3) \)
• \( D(x_4, y_4, z_4) \)

Теперь найдем координаты середины отрезков:

• \( M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right) \)
• \( N\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}, \frac{z_2+z_3}{2}\right) \)
• \( P\left(\frac{x_3+x_4}{2}, \frac{y_3+y_4}{2}, \frac{z_3+z_4}{2}\right) \)
• \( Q\left(\frac{x_4+x_1}{2}, \frac{y_4+y_1}{2}, \frac{z_4+z_1}{2}\right) \)

Теперь найдём векторы \( mN \) и \( QP \):

1. Вектор \( mN \): \[ \begin{align*} \overrightarrow{mN} &= N - M \\ &= \left(\frac{x_2+x_3}{2} - \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_2+y_3}{2} - \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_2+z_3}{2} - \frac{z_1+z_2}{2}\right) \\ &= \left(\frac{x_3 - x_1}{2}, \frac{y_3 - y_1}{2}, \frac{z_3 - z_1}{2}\right) \end{align*} \]

2. Вектор \( QP \): \[ \begin{align*} \overrightarrow{QP} &= P - Q \\ &= \left(\frac{x_3+x_4}{2} - \frac{x_4+x_1}{2}, \frac{y_3+y_4}{2} - \frac{y_4+y_1}{2}, \frac{z_3+z_4}{2} - \frac{z_4+z_1}{2}\right) \\ &= \left(\frac{x_3 - x_1}{2}, \frac{y_3 - y_1}{2}, \frac{z_3 - z_1}{2}\right) \end{align*} \]

Теперь мы видим, что: \[ \overrightarrow{mN} = \overrightarrow{QP} \] Это значит, что векторы \( mN \) и \( QP \) совпадают и направлены одинаково.

Таким образом, направленные отрезки \( mN \) и \( QP \) эквиполлентны, так как они параллельны и равны по длине.

Это завершает доказательство. Если есть дополнительные вопросы или необходимо более глубокое разъяснение какой-либо части, пожалуйста, дайте знать!