Как решить и какой ответ (x^2+4x)(x^2+4x-17)=-60
Для решения уравнения \((x^2 + 4x)(x^2 + 4x - 17) = -60\) начнем с введения substitutions. Обозначим:
\[ y = x^2 + 4x \]
Тогда уравнение можно переписать как:
\[ y(y - 17) = -60 \]
Это уравнение можно разложить:
\[ y^2 - 17y + 60 = 0 \]
Теперь используем дискриминант \(D\) для решения квадратного уравнения:
\[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49 \]
Так как дискриминант положителен, у уравнения два решения, которые находятся по формуле:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2} \]
Теперь найдем два значения для \(y\):
- \(y_1 = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12\)
- \(y_2 = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
Теперь возвратимся к изначальной переменной \(x\):
- Для \(y_1 = 12\):
\[ x^2 + 4x = 12 \implies x^2 + 4x - 12 = 0 \]
Используем дискриминант:
\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \]
Решаем уравнение:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 8}{2} \]
Таким образом, находим:
- \(x_1 = \frac{4}{2} = 2\)
- \(x_2 = \frac{-12}{2} = -6\)
- Для \(y_2 = 5\):
\[ x^2 + 4x = 5 \implies x^2 + 4x - 5 = 0 \]
Используем дискриминант:
\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]
Решаем уравнение:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2} \]
Таким образом, находим:
- \(x_3 = \frac{2}{2} = 1\)
- \(x_4 = \frac{-10}{2} = -5\)
Теперь у нас есть 4 решения:
\[ x_1 = 2, \quad x_2 = -6, \quad x_3 = 1, \quad x_4 = -5 \]
Ответ: \(x = 2, -6, 1, -5\)
