7.Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 30 °к нему, равна 75п см2. Найдите диаметр шара.

Для решения данной задачи можно использовать формулу для площади круга, получаемого сечением шара плоскостью.

Сначала обозначим диаметр шара как \( D \), тогда радиус шара \( R = \frac{D}{2} \).

Когда плоскость сечет шар под углом, площадь сечения \( S \) можно определить с помощью формулы:

\[ S = \pi R^2 \cos^2(\theta) \]

где \( \theta \) — угол между диаметром и плоскостью сечения. В нашем случае \( \theta = 30^\circ \).

Сначала найдем \( \cos(30^\circ) \):

\[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим это значение в формулу для площади сечения:

\[ S = \pi R^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi R^2 \cdot \frac{3}{4} \]

По условию задачи, площадь сечения равна \( 75\pi \, \text{см}^2 \):

\[ \pi R^2 \cdot \frac{3}{4} = 75\pi \]

Делим обе стороны уравнения на \( \pi \):

\[ R^2 \cdot \frac{3}{4} = 75 \]

Теперь умножаем обе стороны на \( \frac{4}{3} \):

\[ R^2 = 75 \cdot \frac{4}{3} = 100 \]

Теперь находим радиус шара \( R \):

\[ R = \sqrt{100} = 10 \, \text{см} \]

Теперь можем найти диаметр шара \( D \):

\[ D = 2R = 2 \cdot 10 = 20 \, \text{см} \]

Таким образом, ответ:

Диаметр шара равен 20 см.