Для решения данной задачи можно использовать формулу для площади круга, получаемого сечением шара плоскостью.
Сначала обозначим диаметр шара как ( D ), тогда радиус шара ( R = \frac{D}{2} ).
Когда плоскость сечет шар под углом, площадь сечения ( S ) можно определить с помощью формулы:
[
S = \pi R^2 \cos^2(\theta)
]
где ( \theta ) — угол между диаметром и плоскостью сечения. В нашем случае ( \theta = 30^\circ ).
Сначала найдем ( \cos(30^\circ) ):
[
\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Теперь подставим это значение в формулу для площади сечения:
[
S = \pi R^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi R^2 \cdot \frac{3}{4}
]
По условию задачи, площадь сечения равна ( 75\pi , \text{см}^2 ):
[
\pi R^2 \cdot \frac{3}{4} = 75\pi
]
Делим обе стороны уравнения на ( \pi ):
[
R^2 \cdot \frac{3}{4} = 75
]
Теперь умножаем обе стороны на ( \frac{4}{3} ):
[
R^2 = 75 \cdot \frac{4}{3} = 100
]
Теперь находим радиус шара ( R ):
[
R = \sqrt{100} = 10 , \text{см}
]
Теперь можем найти диаметр шара ( D ):
[
D = 2R = 2 \cdot 10 = 20 , \text{см}
]
Таким образом, ответ:
Диаметр шара равен 20 см.
