докажите, что если а кратно с и (а+б) кратно с, то б кратно с

Чтобы доказать утверждение, что если \( a \) кратно \( c \) и \( (a + b) \) кратно \( c \), то \( b \) также кратно \( c \), давайте рассмотрим это шаг за шагом.

1. Поскольку \( a \) кратно \( c \), можно записать: \[ a = kc \] для некоторого целого числа \( k \).

2. Дано, что \( (a + b) \) кратно \( c \). Это означает, что существует такое целое число \( m \), что: \[ a + b = mc \]

3. Заменим \( a \) в уравнении из пункта 2 на его значение из пункта 1: \[ kc + b = mc \]

4. Теперь перенесем \( kc \) в правую часть уравнения: \[ b = mc - kc \]

5. Это можно записать как: \[ b = (m - k)c \]

6. Заметим, что \( (m - k) \) — это целое число, так как \( m \) и \( k \) оба являются целыми. Следовательно, \( b \) можно выразить как произведение целого числа и \( c \):

   \[ b = nc \] где \( n = m - k \).

Таким образом, мы показали, что \( b \) кратно \( c \). Это завершает доказательство.