Решите неравенство
Конечно, давай решим каждое неравенство по порядку!
Задача №1:
\[ (x + 4)^2 \leq 0 \]
- Квадрат любого числа всегда неотрицателен. Значит, \((x + 4)^2\) может быть равно нулю.
- \((x + 4)^2 = 0\) при \(x + 4 = 0\), то есть \(x = -4\).
Ответ: \( x = -4 \)
Задача №2:
\[ \frac{25 - x^2}{(x - 4)^2} \geq 0 \]
- \(25 - x^2\) можно разложить по формуле разности квадратов: \[ 25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) \]
Неравенство примет вид: \[ \frac{(5 - x)(5 + x)}{(x - 4)^2} \geq 0 \]
Рассмотрим знаки числителя и знаменателя. Знаменатель \((x - 4)^2\) всегда положителен, если \(x \neq 4\).
Расставим точки: \( x = 5 \), \( x = -5 \), \( x = 4 \).
Меняем знаки в интервалах, анализируя числитель: На интервалах:
- \( x \in (-\infty, -5) \): \( (5 - x)(5 + x) > 0 \)
- \( x \in (-5, 4] \): \( (5 - x)(5 + x) < 0 \) (но точка \( x=4 \) исключена)
- \( x \in [4, 5) \): знаменатель положителен, числитель \( x=4 \) - исключен, иначе положителен.
- \( x \in (5, \infty) \): знаменатель положителен, числитель отрицателен.
Ответ: \( x \leq -5 \) или \( x \in (4, 5) \)
Задача №3:
\[ \frac{x^3 - 3x^2 - 16x + 48}{3 - x} \geq 0 \]
Преобразуем числитель разложением на множители.
Проведем деление полинома. Полный анализ показывает, что: \[ x^3 - 3x^2 - 16x + 48 = (x-3)(x^2 - 16) = (x-3)(x-4)(x+4) \]
Неравенство примет вид: \[ \frac{(x - 3)(x - 4)(x + 4)}{3 - x} \geq 0 \]
Заменяем знаменатель: \[ \frac{(x - 3)(x - 4)(x + 4)}{-1(x - 3)} \geq 0 \] \[ - \frac{(x - 4)(x + 4)}{1} \geq 0 \]
Ответ: \( x \in [-4, 4] \)
Задача №4:
\[ \frac{x^2 - 4x + 3}{2x^2 + 5} \cdot \frac{x^2 - 4x + 3}{3x^2 + 5} \leq 0 \]
Факторы: \[ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \]
Получим: \[ \frac{(x - 1)(x - 3)}{2x^2 + 5} \cdot \frac{(x - 1)(x - 3)}{3x^2 + 5} \leq 0 \]
Произведение числителей и знаменателей положительные, знаменатели: \[ (2x^2 + 5)(3x^2 + 5) > 0 \]
Ответ: \( x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty) \)
Задача №5:
\[ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-8} = 0 \]
Приведем к общему знаменателю и решим: \[ \frac{(x-8) - (x-1)}{(x-1)(x-8)} = 0 \] \[ -1 = 0\ \text{не существует} \]
Перепроверим условия. Убираем нули, приводим ДО ЗНАР: \[ неверное решение (x ≠ 1, x ≠ 8) \]
Ответ: Решение числового не равно исключено.
Если что–то останется, пиши, поковыряем, классика!
