Докажите, что диагональ квадрата лежит на биссектрисе его угла. 10. Докажите, что если диагональ прямоугольника лежит на биссек трисе его угла, то он является квадратом. . 13. На…
Докажите, что диагональ квадрата лежит на биссектрисе его угла. 10. Докажите, что если диагональ прямоугольника лежит на биссек трисе его угла, то он является квадратом. . 13. На сторонах квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки: АЕ BF CG DH (рис. 7.7). Докажите, что четырех- угольник EFGH - квадрат.
- Чтобы доказать, что диагональ квадрата лежит на биссектрисе его угла, рассмотрим квадрат ABCD. Углы A, B, C и D каждого равны 90 градусам. Диагональ AC соединяет вершины A и C. Биссектрисы углов A и C делят угол пополам, то есть на 45 градусов.
Теперь мы можем рассмотреть треугольник ABC. Угол A равен 90 градусам, а значит, bisектрисa угол A будет находиться под углом в 45 градусов к сторонам AB и AD. Направление диагонали AC также составляет угол 45 градусов по отношению к этим сторонам (так как стороны равны).
Поскольку диагональ AC и биссектрисa угла A оба находятся под углом 45 градусов к сторонам, можно заключить, что диагональ AC лежит на биссектрисе угла A. Аналогичным образом можно проделать рассуждение для угла C, показывая, что диагональ также лежит на биссектрисе угла C.
Таким образом, диагональ квадрата действительно лежит на биссектрисе обоих углов.
- Теперь приступим к доказательству, что если диагональ прямоугольника лежит на биссектрисе его угла, то этот прямоугольник является квадратом.
Рассмотрим прямоугольник ABCD с диагональю AC. Пусть угол A равен α. Если диагональ AC лежит на биссектрисе угла A, это значит, что угол CAB равен углу DAB, то есть α/2 = α/2. Вертикальные углы с равными сторонными углами и равные по 90 градусов углы показывают, что противоположные стороны AB и CD равны, и AD и BC равны.
Однако, если AC лежит на биссектрисе угла, углы CAB и DAB равны, тогда AB должно быть равно AD, что означает, что все стороны прямоугольника равны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, так как все его стороны равны.
- Теперь докажем, что четырехугольник EFGH является квадратом.
Рассмотрим квадрат ABCD, и на его сторонах отложены равные отрезки AE, BF, CG, DH. Поскольку все отрезки равны, мы имеем AE = BF = CG = DH = k (где k – длина отрезка).
Теперь посмотрим на четырехугольник EFGH. Поскольку AE = BF и AD = BC, а также каждый угол квадрата равен 90 градусам, тогда угол EFG тоже равен 90 градусам, и угол FGH равен 90 градусам.
Значит, все стороны EFGH равны, поскольку EFGH образованы одинаковыми отрезками с A, B, C и D. Поскольку все углы прямые и стороны равны, можно заключить, что EFGH является квадратом.
Таким образом, мы доказали все три пункта!
