В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанный в этот треугольник
Чтобы найти радиус вписанной окружности \( r \) в равнобедренном треугольнике, можно использовать формулу:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где \( S \) — площадь треугольника, а \( p \) — полупериметр треугольника.
- Нахождение полупериметра \( p \): У нас есть основание \( a = 10 \) см и две боковые стороны \( b = 13 \) см. Полупериметр рассчитывается как:
\[ p = \frac{a + 2b}{2} = \frac{10 + 2 \times 13}{2} = \frac{10 + 26}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см} \]
- Нахождение площади \( S \): Для нахождения площади равнобедренного треугольника можно использовать формулу:
\[ S = \frac{a \cdot h}{2} \]
где \( h \) — высота треугольника. Сначала найдем высоту, используя теорему Пифагора. Высота делит основание пополам:
\[ \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \]
Теперь, используя высоту \( h \) и боковую сторону \( b \):
\[ h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]
Теперь можно подставить значение высоты в формулу для площади:
\[ S = \frac{10 \cdot 12}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ см}^2 \]
- Нахождение радиуса вписанной окружности \( r \): Подставим значения площади \( S \) и полупериметра \( p \) в формулу для радиуса:
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ см} \]
Таким образом, радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника составляет примерно \( 3.33 \) см.
