Реши неравенство: (x^2-1)*√x^2-4<=0

Чтобы решить неравенство \((x^2-1)\sqrt{x^2-4} \leq 0\), давайте разберем его на составляющие.

1. Область определения: Сначала определим область, в которой мы можем работать. Выражение \(\sqrt{x^2 - 4}\) требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \[ x^2 - 4 \geq 0 \implies x^2 \geq 4 \implies x \leq -2 \quad \text{или} \quad x \geq 2. \] Таким образом, область определения неравенства — \(x \leq -2\) или \(x \geq 2\).

2. Анализ знаков: Теперь рассмотрим знак произведения \((x^2 - 1) \cdot \sqrt{x^2 - 4}\).

   • Первый фактор: \(x^2 - 1\) \[ x^2 - 1 = 0 \implies x = -1 \quad \text{или} \quad x = 1. \] Знак \(x^2 - 1\) будет положительным на промежутках \((- \infty, -1)\) и \((1, + \infty)\) и отрицательным на \((-1, 1)\).

   • Второй фактор: \(\sqrt{x^2 - 4}\) положителен для \(x < -2\) и \(x > 2\) и равен 0, когда \(x = -2\) или \(x = 2\).

3. Составляем таблицу знаков: Теперь, учитывая оба фактора, проанализируем знаки в области определения:

   Интервал	\(x^2 - 1\)	\(\sqrt{x^2 - 4}\)	Произведение
   \((- \infty, -2)\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
   \([-2, -1)\)	\(+\)	\(0\)	\(0\)
   \([-1, 1)\)	\(-\)	\(0\)	\(0\)
   \((1, 2)\)	\(+\)	\(0\)	\(0\)
   \((2, + \infty)\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)

4. Решение неравенства: Мы ищем, где произведение \((x^2 - 1) \cdot \sqrt{x^2 - 4} \leq 0\). Из таблицы знаков видно, что это выполняется в следующих точках и интервалах:

   • В точке \(x = -2\) (где произведение равно 0).
   • Везде в интервале \([-2, -1)\) (где произведение равно 0).
   • В точке \(x = 2\) (где произведение равно 0).

Таким образом, окончательное решение неравенства: \[ x \in [-2, -1) \cup \{2\}. \]