3+i/5+3i

Чтобы упростить выражение \( \frac{3+i}{5+3i} \), начнем с умножения числителя и знаменателя на комплексно-сопряжённый знаменатель. Комплексно-сопряжённый к \( 5+3i \) — это \( 5-3i \).

Таким образом, мы умножаем:

\[ \frac{3+i}{5+3i} \cdot \frac{5-3i}{5-3i} = \frac{(3+i)(5-3i)}{(5+3i)(5-3i)} \]

Теперь сначала упростим знаменатель:

\[ (5+3i)(5-3i) = 5^2 - (3i)^2 = 25 - 9(-1) = 25 + 9 = 34 \]

Теперь переходим к числителю:

\[ (3+i)(5-3i) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-3i) + i \cdot 5 + i \cdot (-3i) = 15 - 9i + 5i - 3i^2 \]

Поскольку \( i^2 = -1 \), это дает:

\[ -3i^2 = 3 \quad \text{(заменяем } -3i^2 \text{ на } 3\text{)} \]

Таким образом, упрощаем числитель:

\[ 15 + 3 - 9i + 5i = 18 - 4i \]

Теперь мы можем объединить это в одно выражение:

\[ \frac{18-4i}{34} \]

Теперь разделим числитель и знаменатель на 2:

\[ \frac{9-2i}{17} \]

Итак, окончательный ответ:

\[ \frac{9-2i}{17} \]