5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x2 – 1)

Чтобы решить уравнение \( \frac{5}{x - 1} - \frac{3}{x + 1} = \frac{15}{x^2 - 1} \), сначала заметим, что \( x^2 - 1 \) можно переписать как \( (x - 1)(x + 1) \). Это даст нам возможность привести все дроби к общему знаменателю.

1. Упрощение дроби: Обозначим общий знаменатель для всех дробей как \( (x - 1)(x + 1) \). Таким образом, мы можем переписать каждую дробь:
   • Первая дробь: \( \frac{5}{x - 1} = \frac{5(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{5x + 5}{(x - 1)(x + 1)} \)
   • Вторая дробь: \( \frac{3}{x + 1} = \frac{3(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 3}{(x - 1)(x + 1)} \)
   • Третья дробь: \( \frac{15}{x^2 - 1} = \frac{15}{(x - 1)(x + 1)} \)

Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{5x + 5}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{3x - 3}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{15}{(x - 1)(x + 1)} \]

2. Сведение к общему знаменателю: Теперь записываем уравнение с общим знаменателем: \[ \frac{(5x + 5) - (3x - 3)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{15}{(x - 1)(x + 1)} \]

3. Упрощение числителя: Упростим числитель: \[ (5x + 5) - (3x - 3) = 5x + 5 - 3x + 3 = 2x + 8 \] Таким образом, уравнение становится: \[ \frac{2x + 8}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{15}{(x - 1)(x + 1)} \]

4. Устранение знаменателя: Теперь, так как знаменатель одинаковый, можем приравнять числители: \[ 2x + 8 = 15 \]

5. Решение уравнения: Решим это уравнение: \[ 2x = 15 - 8 \\ 2x = 7 \\ x = \frac{7}{2} \]

Таким образом, решением уравнения является \( x = \frac{7}{2} \).

6. Проверка: Поскольку мы делали преобразования с дробями, важно убедиться, что значение \( x = \frac{7}{2} \) не делает ни один знаменатель равным нулю. В знаменателе \( (x - 1)(x + 1) \) при \( x = \frac{7}{2} \) оба знаменателя не равны нулю, поэтому всё в порядке.

Ответ: \( x = \frac{7}{2} \).