В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите гипотенузу треугольника, если радиус окружности равен 4см, а периметр треугольника равен 56см.

В прямоугольном треугольнике существует важная связь между радиусом вписанной окружности (r), гипотенузой (c) и периметром треугольника (P). Формула для радиуса вписанной окружности выглядит так:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

где \( a \) и \( b \) — это катеты треугольника.

Также, периметр прямоугольного треугольника выражается так:

\[ P = a + b + c \]

В вашем случае:

• Радиус окружности \( r = 4 \, \text{см} \)
• Периметр \( P = 56 \, \text{см} \)

Сначала выразим сумму катетов через радиус:

\[ a + b = c + 2r \]

Подставим известные значения:

\[ a + b = c + 8 \]

Теперь, используя формулу для периметра:

\[ P = a + b + c = 56 \]

Подставим \( a + b = c + 8 \) в формулу периметра:

\[ (c + 8) + c = 56 \]

Это уравнение упрощается до:

\[ 2c + 8 = 56 \]

Теперь решим его:

\[ 2c = 56 - 8 \] \[ 2c = 48 \] \[ c = 24 \, \text{см} \]

Таким образом, гипотенуза треугольника составляет 24 см.