Найдите значение выражения. 1) 120 deg * sin 135 deg * cot 150 deg 2) 4tan^2 (120 deg) + 4sin^2 (120 deg) - 3cos 90 deg * cot 100 deg
Чтобы найти значение данных выражений, давайте разберем их по шагам.
- Рассмотрим выражение: \( 120^\circ \cdot \sin 135^\circ \cdot \cot 150^\circ \).
Сначала найдем значение \( \sin 135^\circ \): \[ \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Теперь найдем \( \cot 150^\circ \): \[ \cot 150^\circ = \frac{1}{\tan 150^\circ} = \frac{1}{-\tan(180^\circ - 30^\circ)} = \frac{1}{-\tan 30^\circ} = -\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = -\sqrt{3}. \]
Теперь подставим найденные значения в выражение: \[ 120 \cdot \sin 135^\circ \cdot \cot 150^\circ = 120 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) = 120 \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{2}) = -60\sqrt{6}. \]
Таким образом, значение первого выражения равно \( -60\sqrt{6} \).
- Теперь рассмотрим второе выражение: \( 4\tan^2(120^\circ) + 4\sin^2(120^\circ) - 3\cos(90^\circ) \cdot \cot(100^\circ) \).
Сначала найдем \( \tan(120^\circ) \): \[ \tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}. \] Поэтому, \[ \tan^2(120^\circ) = (-\sqrt{3})^2 = 3. \] Таким образом, \[ 4\tan^2(120^\circ) = 4 \cdot 3 = 12. \]
Теперь найдем \( \sin(120^\circ) \): \[ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Соответственно, \[ 4\sin^2(120^\circ) = 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3. \]
Затем, \( \cos(90^\circ) = 0 \), что делает весь последний член: \[ 3\cos(90^\circ) \cdot \cot(100^\circ) = 3 \cdot 0 \cdot \cot(100^\circ) = 0. \]
Теперь подставляем все в выражение: \[ 12 + 3 - 0 = 15. \]
Итак, значение второго выражения равно \( 15 \).
В итоге, ответы на ваши вопросы:
- \( -60\sqrt{6} \)
- \( 15 \)
