X⁴-10x²+9=0

Рассмотрим уравнение \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\). Это уравнение является многочленом четвёртой степени, и мы можем упростить его, введя замену переменной.

1. Замена переменной: Поскольку в уравнении присутствует \(x^2\), можно ввести замену \(y = x^2\). Тогда уравнение становится: \[ y^2 - 10y + 9 = 0 \]

2. Решение квадратного уравнения: Это обычное квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискримината: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \] Дискриминант положителен, что означает, что у уравнения есть два различных корня.

   Корни находятся по формуле: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 8}{2} \] Считаем корни: \[ y_1 = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2}{2} = 1 \]

3. Возврат к переменной x: Теперь мы вернёмся к переменной \(x\): \[ y_1 = 9 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \] \[ y_2 = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \]

4. Итоговые решения: Таким образом, у нас есть четыре решения исходного уравнения: \[ x = 3, \quad x = -3, \quad x = 1, \quad x = -1 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобрать другой материал, не стесняйтесь обращаться!