упростить выражение cos²a-cos⁴a+sin⁴a

Чтобы упростить выражение \( \cos^2{a} - \cos^4{a} + \sin^4{a} \), давайте сначала применим некоторые тригонометрические тождества и алгебраические преобразования.

1. Начнем с того, что \( \sin^4{a} \) можно записать через квадрат: \[ \sin^4{a} = (\sin^2{a})^2 \]

2. Используя тождество \( \sin^2{a} + \cos^2{a} = 1 \), мы можем выразить \( \sin^2{a} \): \[ \sin^2{a} = 1 - \cos^2{a} \] Следовательно: \[ \sin^4{a} = (1 - \cos^2{a})^2 \]

3. Теперь подставим это в выражение: \[ \cos^2{a} - \cos^4{a} + (1 - \cos^2{a})^2 \]

4. Раскроем скобки во втором слагаемом: \[ (1 - \cos^2{a})^2 = 1 - 2\cos^2{a} + \cos^4{a} \]

5. Подставив это обратно, мы получаем: \[ \cos^2{a} - \cos^4{a} + 1 - 2\cos^2{a} + \cos^4{a} \]

6. Упрощаем выражение, сокращая \( -\cos^4{a} \) и \( +\cos^4{a} \): \[ \cos^2{a} - 2\cos^2{a} + 1 = -\cos^2{a} + 1 \]

7. Таким образом, мы можем записать упрощенное выражение как: \[ 1 - \cos^2{a} \]

8. Заметим, что \( 1 - \cos^2{a} = \sin^2{a} \), так что окончательно: \[ \sin^2{a} \]

Таким образом, упрощенное выражение для \( \cos^2{a} - \cos^4{a} + \sin^4{a} \) равно \( \sin^2{a} \).