Дан куб ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми 1) BC и CC1

Чтобы найти угол между прямыми \( BC \) и \( CC_1 \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), начнем с определения координат вершин куба. Предположим, что куб расположен в пространстве следующим образом:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(1, 0, 0) \)
• \( C(1, 1, 0) \)
• \( D(0, 1, 0) \)
• \( A_1(0, 0, 1) \)
• \( B_1(1, 0, 1) \)
• \( C_1(1, 1, 1) \)
• \( D_1(0, 1, 1) \)

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым \( BC \) и \( CC_1 \):

1. Вектор \( BC \): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0) \]

2. Вектор \( CC_1 \): \[ \overrightarrow{CC_1} = C_1 - C = (1, 1, 1) - (1, 1, 0) = (0, 0, 1) \]

Теперь мы имеем два направления:

• Вектор \( \overrightarrow{BC} = (0, 1, 0) \)
• Вектор \( \overrightarrow{CC_1} = (0, 0, 1) \)

Теперь можно найти угол \( \theta \) между этими векторами с помощью скалярного произведения:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CC_1}}{|\overrightarrow{BC}| |\overrightarrow{CC_1}|} \]

Сначала найдём скалярное произведение \( \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CC_1} \): \[ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CC_1} = (0) \cdot (0) + (1) \cdot (0) + (0) \cdot (1) = 0 \]

Далее, найдём длины векторов: \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(0)^2 + (1)^2 + (0)^2} = 1 \] \[ |\overrightarrow{CC_1}| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (1)^2} = 1 \]

Теперь подставим в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0 \]

Поскольку \( \cos(\theta) = 0 \), это означает, что угол \( \theta = 90^\circ \).

Таким образом, угол между прямыми \( BC \) и \( CC_1 \) равен \( 90^\circ \).