дано точки M(5;1;-2) и N(-3;7;-4) . Найдите координаты середины отрезка MN и его длину

Чтобы найти координаты середины отрезка \( MN \) и его длину, следуйте представленным шагам.

1. Находим координаты середины отрезка. Середина отрезка, соединяющего две точки \( M(x_1, y_1, z_1) \) и \( N(x_2, y_2, z_2) \), вычисляется по формуле:

   \[ S\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \]

   Подставим значения из точек \( M(5, 1, -2) \) и \( N(-3, 7, -4) \):

   • \( x_1 = 5 \), \( y_1 = 1 \), \( z_1 = -2 \)
   • \( x_2 = -3 \), \( y_2 = 7 \), \( z_2 = -4 \)

   Теперь подставляем в формулу:

   \[ S\left( \frac{5 + (-3)}{2}, \frac{1 + 7}{2}, \frac{-2 + (-4)}{2} \right) = S\left( \frac{2}{2}, \frac{8}{2}, \frac{-6}{2} \right) = S(1, 4, -3) \]

   Таким образом, координаты середины отрезка \( MN \) равны \( S(1, 4, -3) \).

2. Находим длину отрезка. Длина отрезка между двумя точками в трехмерном пространстве определяется по формуле:

   \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

   Подставляем наши значения:

   \[ d = \sqrt{((-3) - 5)^2 + (7 - 1)^2 + ((-4) - (-2))^2} \]

   Расчитаем каждую часть:

   • \( (-3 - 5)^2 = (-8)^2 = 64 \)
   • \( (7 - 1)^2 = 6^2 = 36 \)
   • \( (-4 + 2)^2 = (-2)^2 = 4 \)

   Сложим эти значения:

   \[ d = \sqrt{64 + 36 + 4} = \sqrt{104} \]

   Упрощая, получаем:

   \[ d = 2\sqrt{26} \]

Таким образом, координаты середины отрезка \( MN \) равны \( (1, 4, -3) \), а его длина составляет \( 2\sqrt{26} \).