Задание 1 (20 баллов). Переведите числа в десятичную систему счисления: 2102³ (5 баллов); 0,54⁸ (5 баллов); 10324,30¹⁵ (10 баллов). Приведите полное решение. Задание 2 (20…

Задание 1

Перевод чисел в десятичную систему счисления:

1. 2102³ (основание 3):

   Для перевода числа из системы счисления с основанием 3 в десятичную, нужно умножить каждую цифру на основание, возведенное в степень позиции цифры, начиная с нуля с права налево.

   \[ 2 \times 3^3 + 1 \times 3^2 + 0 \times 3^1 + 2 \times 3^0 \]

   \[ = 2 \times 27 + 1 \times 9 + 0 \times 3 + 2 \times 1 \]

   \[ = 54 + 9 + 0 + 2 = 65 \]

   Ответ: 65

2. 0,54⁸ (основание 8):

   Для перевода дробного числа из системы счисления с основанием 8 в десятичную, нужно применить аналогичный метод для целой и дробной части:

   \[ 5 \times 8^{-1} + 4 \times 8^{-2} \]

   \[ = 5 \times \frac{1}{8} + 4 \times \frac{1}{64} \]

   \[ = \frac{5}{8} + \frac{4}{64} = \frac{5}{8} + \frac{1}{16} \]

   Приведем к общему знаменателю (16): \[ = \frac{10}{16} + \frac{1}{16} = \frac{11}{16} \]

   Ответ: \( \frac{11}{16} \)

3. 10324,30¹⁵ (основание 15):

   Аналогично, переведем каждую часть:

   Целая часть: \[ 1 \times 15^4 + 0 \times 15^3 + 3 \times 15^2 + 2 \times 15^1 + 4 \times 15^0 \] \[ = 1 \times 50625 + 0 + 3 \times 225 + 2 \times 15 + 4 \] \[ = 50625 + 675 + 30 + 4 = 51334 \]

   Дробная часть: \[ 3 \times 15^{-1} + 0 \times 15^{-2} = 3 \times \frac{1}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \]

   Объединив целую и дробную части: \[ 51334 + \frac{1}{5} = 51334,2 \]

   Ответ: 51334,2

Задание 2

Запись десятичных чисел 63 и 64 в системах счисления с основанием 2 и 4:

1. Число 63 в двоичной системе (основание 2):

   Делим на 2 и записываем остатки:

   • 63 : 2 = 31, остаток 1
   • 31 : 2 = 15, остаток 1
   • 15 : 2 = 7, остаток 1
   • 7 : 2 = 3, остаток 1
   • 3 : 2 = 1, остаток 1
   • 1 : 2 = 0, остаток 1

   Число 63 в двоичной системе: \( 111111 \)

2. Число 63 в четверичной системе (основание 4):

   Делим на 4 и записываем остатки:

   • 63 : 4 = 15, остаток 3
   • 15 : 4 = 3, остаток 3
   • 3 : 4 = 0, остаток 3

   Число 63 в четверичной системе: \( 333 \)

3. Число 64 в двоичной системе (основание 2):

   Делим на 2:

   • 64 : 2 = 32, остаток 0
   • 32 : 2 = 16, остаток 0
   • 16 : 2 = 8, остаток 0
   • 8 : 2 = 4, остаток 0
   • 4 : 2 = 2, остаток 0
   • 2 : 2 = 1, остаток 0
   • 1 : 2 = 0, остаток 1

   Число 64 в двоичной системе: \( 1000000 \)

4. Число 64 в четверичной системе (основание 4):

   Делим на 4:

   • 64 : 4 = 16, остаток 0
   • 16 : 4 = 4, остаток 0
   • 4 : 4 = 1, остаток 0
   • 1 : 4 = 0, остаток 1

   Число 64 в четверичной системе: \( 1000 \)

Ответи:

• 63 в двоичной: \( 111111 \), в четверичной: \( 333 \)
• 64 в двоичной: \( 1000000 \), в четверичной: \( 1000 \)

Задание 3

Перевод десятичных чисел в системы счисления:

1. 313¹⁰ в систему с основанием 3:

   Делим 313 на 3:

   • 313 : 3 = 104, остаток 1
   • 104 : 3 = 34, остаток 2
   • 34 : 3 = 11, остаток 1
   • 11 : 3 = 3, остаток 2
   • 3 : 3 = 1, остаток 0
   • 1 : 3 = 0, остаток 1

   Число 313 в троичной системе: \( 120212 \)

2. 0,02¹⁰ в систему с основанием 5:

   Умножаем дробь на 5:

   • 0,02 * 5 = 0,1 (целая часть = 0)
   • 0,1 * 5 = 0,5 (целая часть = 0)
   • 0,5 * 5 = 2,5 (целая часть = 2)
   • 0,5 * 5 = 2,5 (целая часть = 2)

   Дробная часть: \( 0,0022_5 \)

3. 1030,15¹⁰ в систему с основанием 8:

   Целая часть 1030:

   • 1030 : 8 = 128, остаток 6
   • 128 : 8 = 16, остаток 0
   • 16 : 8 = 2, остаток 0
   • 2 : 8 = 0, остаток 2

   Число 1030 в восьмеричной системе: \( 2006 \)

   Дробная часть 0,15:

   • 0,15 * 8 = 1,2 (целая часть = 1)
   • 0,2 * 8 = 1,6 (целая часть = 1)
   • 0,6 * 8 = 4,8 (целая часть = 4)
   • 0,8 * 8 = 6,4 (целая часть = 6)

   Объединим целую и дробную части: \( 2006,1146_8 \)

Ответы:

• 313¹⁰ в 3: \( 120212_3 \)
• 0,02¹⁰ в 5: \( 0,0022_5 \)
• 1030,15¹⁰ в 8: \( 2006,1146_8 \)

Задание 4

Решение уравнения: \( 56n + 55n + 1 = 96 \)

Сначала упростим уравнение:

• Объединим похожие слагаемые: \[ 56n + 55n = 111n + 1 = 96 \]

Далее вычтем 1 из обеих сторон: \[ 111n = 95 \]

Теперь разделим обе стороны на 111: \[ n = \frac{95}{111} \]

Сократим дробь: \[ n = \frac{95}{111} = \frac{5}{7} \]

Ответ: \( n = \frac{5}{7} \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна дальнейшая помощь, не стесняйтесь задавать!