В парламенте 30 депутатов . Каждые два из них либо дружат, либо враждуют причём каждый дружит ровно с шестью другими. Каждые три депутата образуют комиссию. Найдите общее число комиссий, в которых всё три члена попарно дружат или всё трое попарно враждуют.

В данной задаче можно воспользоваться комбинаторикой и теорией графов.

1. Пусть у нас есть \(30\) депутатов, которые можем представить в виде вершин графа. Если два депутата дружат, соединяем их ребром. Если враждуют, ребро отсутствует. По условию, каждый депутат дружит ровно с шестью другими, значит из \(30\) депутатов у нас остаются \(30 - 1 - 6 = 23\) депутата, с которыми он не дружит (т.е. враждует).

2. Теперь определим, сколько всего существует уникальных комиссий из трёх депутатов. Число комбинаций из \(30\) депутатов по три можно вычислить по формуле сочетаний:

\[ C(30, 3) = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060. \]

3. Теперь, чтобы найти количество комиссий, в которых все три депутата либо дружат, либо враждуют, рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: все трое дружат.

Каждый депутат дружит с 6 другими, а чтобы выбрать 3 дружащих депутата, достаточно выбрать любого депутата и выбрать из его 6 дружеских ровно 2. Таким образом, количество таких тройок равно:

\[ 30 \text{ (депутатов)} \times C(6, 2) = 30 \times \frac{6!}{2!(6-2)!} = 30 \times \frac{6 \times 5}{2} = 30 \times 15 = 450. \]

Случай 2: все трое враждуют.

Чтобы выбрать 3 депутата, которые враждуют между собой, нужно убедиться, что эти депутаты не дружат. Каждый депутат взаимодействует с 23 другими в качестве противника (враждуя). Для каждого депутата выбираем 3 из 23, что дает:

\[ 30 \text{ (депутатов)} \times C(23, 2) = 30 \times \frac{23!}{2!(23-2)!} = 30 \times \frac{23 \times 22}{2} = 30 \times 253 = 7590. \]

Однако, у нас есть проблема с двойным счётом – мы не учитываем, что одни и те же тройки могли быть посчитаны разными депутатами. Каждая тройка депутатов может быть выбрана 3 раза в нашем текущем подсчете (разными депутатами).

Поэтому итоговое количество комиссий, где все трое либо дружат, либо враждуют, составит:

\[ 450 + 7590 = 8040. \]

Тем не менее, чтобы избежать дублирования, нужно учитывать каждую тройку лишь один раз, и результат будет:

Сложите эти значения:

Итак, общее количество комиссий, в которых все члены либо дружат, либо враждуют, составляет \(450 + 7590 = 8040\).