4x2 +4x-3<0

Для решения неравенства \(4x^2 + 4x - 3 < 0\) начнем с поиска корней соответствующего квадратного уравнения:

\[4x^2 + 4x - 3 = 0.\]

Можно использовать формулу квадратного корня, которая выглядит следующим образом:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \(a = 4\), \(b = 4\), и \(c = -3\).

Сначала найдем дискриминант (\(D\)):

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64. \]

Теперь подставим дискриминант в формулу:

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8}. \]

Таким образом, получаем два корня:

1. \(x_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2},\)
2. \(x_2 = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}.\)

Теперь у нас есть корни \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = -\frac{3}{2}\). Эти корни разделяют ось \(x\) на три интервалы:

1. \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)
2. \( (-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}) \)
3. \( (\frac{1}{2}, \infty) \)

Следующий шаг — тестирование каждого интервала на знак выражения \(4x^2 + 4x - 3\).

1. Для интервала \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \), выберем, например, \(x = -2\): \[ 4(-2)^2 + 4(-2) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 \quad (\text{положительно}). \]

2. Для интервала \( (-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}) \), выберем \(x = 0\): \[ 4(0)^2 + 4(0) - 3 = -3 \quad (\text{отрицательно}). \]

3. Для интервала \( (\frac{1}{2}, \infty) \), выберем \(x = 1\): \[ 4(1)^2 + 4(1) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \quad (\text{положительно}). \]

Теперь мы определили интервалы, в которых выражение отрицательно. В нашем случае:

• \(4x^2 + 4x - 3 < 0\) на интервале \((- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})\).

Таким образом, решение неравенства:

\[ -\frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}. \]