Вот исправленные варианты предложений без грамматических ошибок:
Став победителем соревнований, одноклассники стали чаще советоваться с ним.
Приходя на выставку современного искусства, я восхищаюсь работами.
Построенную новгородцами крепость в 1323 году на Ореховом острове стали называть «Орешек».
Поставленный автором вопрос оказался очень актуальным.
В будущем мы хотим создать социальный проект, который мог бы улучшить жизнь в нашем районе.
Спя в норке, маленький зверёк посапывал.
Стремясь быть конкурентоспособными, мы изменили дизайн товаров первой необходимости.
На скатерти стояли блюда, украшающие новогодний стол.
Решив контрольную по физике, я поеду отдыхать в аквапарк.
Прочитав роман, не забудьте делать в нём пометки.
Если возникнут дополнительные вопросы или потребуется более подробное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!